Exercice 1 — Prix du billet — Olympiades 2012 Martinique

Sujet

Un organisateur de spectacle organise un concert dans une salle de 800 places. Il souhaite fixer le prix du billet pour optimiser sa recette. Une étude du marché lui apprend que :

Si le prix du billet est de 50 euro, il vend 300 billets.
Chaque baisse de 0,06 euro sur le prix du billet lui permet de vendre un billet supplémentaire.

Déterminer le prix du billet pour que la recette soit maximale.

Soit \(n\) le nombre de baisses successives de 0,06 euro, qui est aussi le nombre de billets supplémentaires. Pour \(n\) billets supplémentaires :

le pris en euro du billet est \(P_{n}=50-0,06 n\).
Le nombre de billets vendus est \(300+n\).
et la recette est \(R_{n}=P_{n} \times(300+n)=(50-0,06 n)(300+n)\), soit \(R_{n}=-0,06 n^{2}+32 n+15000\).
\(n\) étant un entier, le nombre de places maximum de la salle étant 800 , ainsi : \(0 \leqslant n \leqslant 500\).
On étudie la fonction \(R\) définie sur [ 0 ; 500] par \(R(x)=-0,06 x^{2}+32 x+15000\).

Les variations sont :

\(x\)	0	\(\frac{800}{3}\)		500
			\(R\left(\frac{800}{3}\right)\)
	\(R(x)\)		\(\nearrow\)
		15000
\cline { 2 - 5 }			16000

Comme \(n\) est entier, que \(266 \frac{800}{3}<267\) et que \(R(266) \approx 19266,64\) et \(R(267) \approx 19266,66\) :
La recette maximale est \(R(267)\) et le prix du billet pour cette recette \(P(267)=50-0,06 \times 267=33,98\) euro. Naturellement, on acceptera un prix de 34 euro.