Exercice 2 — Duels tétraédriques

Sujet

Un dé tétraédrique comporte quatre faces comme le dé représenté ci-contre. Lorsqu'on jette un tel dé, le résultat est le nombre inscrit au plus près de la base du tétraèdre. Dans notre exemple, le dé tétraédrique est tombé sur la face 4 .
Antoine, Baptiste, Cyril et Diane jouent avec quatre dés tétraédriques réguliers et équilibrés mais qui ne sont pas numérotés de façon habituelle. Ainsi, le dé d'Antoine compte quatre faces numérotées \(1,6,6\) et 6 . Avec ce dé, le nombre 1 est obtenu avec la probabilité \(\frac{1}{4}\) et le nombre 6 avec la probabilité \(\frac{3}{4}\). Le dé de Baptiste est numéroté 4, 4, 5 et 5 , celui de Cyril, 3, 3, 3 et 8, et

enfin, celui de Diane, 2, 2, 7 et 7 .

1. Chaque joueur jette son dé tétraédrique une fois. Qui a le plus de chances d'obtenir un nombre supérieur ou égal à 6 ?
2. Les joueurs commencent une série de duels : Antoine joue contre Baptiste, Baptiste joue contre Cyril, Cyril joue contre Diane, Diane joue contre Antoine. Le gagnant de chaque duel est le joueur qui a obtenu le résultat le plus élevé.
   (a) Montrer que dans le premier duel Antoine gagne contre Baptiste avec une probabilité de \(\frac{3}{4}\).
   (b) Donner les probabilités de gain des joueurs dans les trois autres duels.
3. Antoine, Baptiste, Cyril et Diane jettent simultanément leur dé. Celui des quatre joueurs qui obtient le plus grand nombre gagne.
   (a) Montrer que la probabilité que Baptiste gagne est égale à \(\frac{3}{32}\).
   (b) Qui a le plus de chances de gagner ce jeu?
4. Antoine, Baptiste, Cyril et Diane utilisent maintenant d'autres dés, numérotés avec des entiers naturels, de sorte que celui d'Antoine a des faces numérotées \(a_{1} ; a_{2} ; a_{3} ; a_{4}\) avec \(a_{1} \leqslant a_{2} \leqslant a_{3} \leqslant a_{4}\), celui de Baptiste a des faces numérotées \(b_{1} ; b_{2} ; b_{3} ; b_{4}\) avec \(b_{1} \leqslant b_{2} \leqslant b_{3} \leqslant b_{4}\), celui de Cyril a des faces numérotées \(c_{1} ; c_{2} ; c_{3} ; c_{4}\) avec \(c_{1} \leqslant c_{2} \leqslant c_{3} \leqslant c_{4}\), celui de Diane a des faces numérotées \(d_{1} ; d_{2} ; d_{3} ; d_{4}\) avec \(d_{1} \leqslant d_{2} \leqslant d_{3} \leqslant d_{4}\).
   Nous savons de plus qu'aucun des numéros d'un dé tétraédrique ne se retrouve sur un autre dé tétraédrique.
   Par conséquent, dans chaque duel, il y a toujours un gagnant et un perdant.
   (a) Montrer que, si \(a_{2} \leqslant b_{2}\), la probabilité qu'Antoine gagne contre Baptiste est inférieure ou égale à \(\frac{5}{8}\).
   (b) Existe-t-il des dés tétraédriques tels qu'Antoine gagne contre Baptiste, Baptiste gagne contre Cyril, Cyril gagne contre Diane et Diane gagne contre Antoine, chacun avec une probabilité strictement supérieure à \(\frac{5}{8}\) ?
   (c) Existe-t-il des dés tétraédriques tels qu'Antoine gagne contre Baptiste, Baptiste gagne contre Cyril, Cyril gagne contre Diane et Diane gagne contre Antoine, chacun avec une probabilité égale à \(\frac{5}{8}\) ?