Exercice 1 — Les éoliennes

Sujet

Xavier voyage dans un train en compagnie de ses deux amies Yasmina et Zoé. La voie ferrée est rectiligne et le train circule à une vitesse constante de \(90 \mathrm{~km} / \mathrm{h}\).

1. Combien de secondes le train met-il pour parcourir 100 m ?
2. D'un côté de la voie, à une distance de 200 m de celle-ci, se trouvent deux éoliennes A et B distantes l'une de l'autre de 100 m (A se trouve avant B dans le sens du parcours). Lorsque Xavier se trouve exactement à 200 m de l'éolienne B , c'est-à- dire lorsque l'angle \(\widehat{X^{\prime} X B}\) est droit, il mesure l'angle \(\widehat{A X B}\). 4 secondes plus tard, il se trouve dans une position \(X^{\prime}\) et mesure à nouveau l'angle \(\widehat{A X^{\prime} B}\), comme illustré sur la figure ci-dessous.
   

Montrer que la somme des mesures des angles \(\widehat{A X B}\) et \(\widehat{A X^{\prime} B}\) vaut \(45^{\circ}\).
3. Sa camarade, Yasmina, a observé avant lui ces deux éoliennes. Toutes les 4 secondes, elle a mesuré l'angle \(\widehat{A Y B}, Y\) étant sa position sur la voie ferrée. Elle a commencé ses mesures 8 secondes avant la première mesure de Xavier et a terminé en même temps que Xavier.
(a) Faire une figure.
(b) Calculer la somme des mesures de tous les angles que Yasmina a mesuré.
4. Zoé a effectué ses mesures bien longtemps en avance : elle a commencé 10 minutes avant la première mesure de Xavier et a renouvelé toutes les 4 secondes la mesure de l'angle \(\widehat{A Z_{0} B}, \widehat{A Z_{1} B}, \ldots Z_{0}, Z_{1}, \ldots\) étant les positions de Zoé sur la voie ferrée. Elle a continué ses calculs longtemps après que Xavier s'est arrêté. Démontrer que la somme des mesures de tous les angles qu'elle a mesurés est inférieure à \(180^{\circ}\).