Sujet
Une calculatrice défectueuse permet seulement :
- de taper des nombres positifs ou nuls;
- de faire l'opération suivante : à partir de trois nombres entrés successivement ( \(x, y, z\) ), elle affiche 0 si \(x=y\) et le résultat de \(\frac{z}{x-y}\) sinon.
\[
(x, y, z) \mapsto\left\{\begin{array}{ccc}
\frac{z}{x-y} & \text { si } & x \neq y \\
0 & \text { si } & x=y
\end{array}\right.
\]
- l'utilisation des parenthèses qui permet de composer des calculs.
L'objectif est de déterminer si cette calculatrice permet tout de même de faire les opérations usuelles sur tous les nopmbres réels :,,\(+- \times, /\).
- En détaillant les calculs, vérifier les résultats suivants donnés par la calculatrice:
\[
(0,1,2) \mapsto-2 \text { et }((2,0,1), 1,1) \mapsto-2
\]
- Que donne \((2,0,1),(0,2,1)\) et \((2,1,(2,1,3))\) ?
- Donner un calcul permettant d'obtenir -1 .
- Vérifier que le calcul ( \(a, 0,1\) ) permet d'obtenir l'inverse de \(a\) pour tout \(a>0\).
- Proposer un calcul permettant de faire la division de deux nombres positifs : \(\frac{a}{b}\) avec \(a \geqslant 0\) et \(b>0\).
- Proposer un calcul permettant de faire la multiplication de deux nombres positifs : \(a \times b\) avec \(a \geqslant 0\) et \(b \geqslant 0\).
- Proposer un calcul permettant de faire la soustraction de deux nombres positifs : \(a-b\) avec \(a \geqslant 0\) et \(b \geqslant 0\).
- Proposer un calcul permettant d'obtenir l'opposé d'un nombre positif : \(-a\) avec \(a \geqslant 0\).
- Proposer un calcul permettant de faire l'addition de deux nombres positifs : \(a+b\), avec \(a \geqslant 0\) et \(b \geqslant 0\).
- Proposer une décomposition du calcul suivant afin de pouvoir le réaliser avec cette calculatrice à partir des nombres donnés :
\[
1+\frac{-3}{34 \times 112+4}
\]