Exercice 2 — Suite de carrés

Sujet

Soit \(C_{0} C_{1} C_{2} C_{3}\) un carré
On travaillera dans le repère ( \(C_{0} ; C_{1}, C_{3}\) ).

1. Indiquer les coordonnées de \(C_{0}, C_{1}, C_{2}\) et \(C_{3}\).
2. On définit la suite de points( \(P_{n}\) ) par : \(P_{0}=C_{0}\) et pour tout entier \(n, P_{n+1}\) est le milieu de \(\left[P_{n} C_{k}\right]\) où \(k\) est le reste de la division euclidienne de \(n+1\) par 4 .

• \(P_{1}\) est le milieu de \(\left[P_{0} C_{1}\right]\)
• \(P_{2}\) est le milieu de \(\left[P_{1} C_{2}\right]\)
• \(P_{3}\) est le milieu de \(\left[P_{2} C_{3}\right]\)
• \(\quad P_{4}\) est le milieu de \(\left[P_{3} C_{0}\right]\)
• \(P_{5}\) est le milieu de \(\left[P_{4} C_{1}\right]\)
  etc.
  (a) Déterminer les coordonnées de \(P_{0}, P_{1}, P_{2}, P_{3}, P_{4}, P_{5}, P_{6}\) et \(P_{7}\) sous forme exacte.
  (b) Démontrer que \(P_{0}, P_{3}, P_{4}\) et \(P_{7}\) sont alignés sur la droite \(\Delta_{0}\) d'équation \(y=2 x\).
  (c) Démontrer que \(P_{1}, P_{2}, P_{5}\) et \(P_{6}\) sont alignés sur une droite \(\Delta_{1}\) parallèle à \(\Delta_{0}\) et dont on donnera une équation réduite.

1. (a) Soit \(A\) un point quelconque de \(\Delta_{0}\). Démontrer que :

• le milieu du segment \(\left[A C_{0}\right]\) est sur \(\Delta_{0}\)
• le milieu du segment \(\left[A C_{1}\right]\) est sur \(\Delta_{1}\).
  (b) Soit \(B\) un point quelconque de \(\Delta_{1}\). Démontrer que
• le milieu du segment \(\left[B C_{2}\right]\) est sur \(\Delta_{1}\).
• le milieu du segment \(\left[B C_{3}\right]\) est sur \(\Delta_{0}\).
  (c) Que peut-on en déduire pour la suite de points \(\left(P_{n}\right)\) ?

1. Soit \(P(x ; y)\) un point quelconque du plan. On définit les points \(Q, R, S\) et \(T\) par

• \(Q\) est le milieu de [ \(P C_{1}\) ]
• \(R\) est le milieu de \(\left[Q C_{2}\right]\)
• \(S\) est le milieu de [ \(R C_{3}\) ]
• \(T\) est le milieu de \(\left[S C_{0}\right]\)
  (a) Donner les coordonnées de \(T\) en fonction de \(x\) et \(y\).
  (b) Montrer qu'il existe un unique point \(P\) tel que \(T=P\).

Donner les coordonnées de ce point \(P\) ainsi que les coordonnées des points \(Q, R\) et \(S\) correspondants.
(c) Donner des valeurs approchées des coordonnées de \(P_{8}\) et \(P_{12}\).
(d) Que peut-on conjecturer pour la suite de points \(\left(P_{n}\right)\) lorsque \(n\) tend vers \(+\infty\) ?