Exercice 1 — L'hexagone magique

Sujet

Dans tout l'exercice, \(n\) est un nombre entier supérieur ou égal à 1 .
On utilisera dans le problème la formule suivante qui donne la somme des entiers de 1 à \(n\) :
Formule : \(1+2+3+\cdots+(n-1)+n=\frac{n(n+1)}{2}\).
Exemple : \(1+2+3+\cdots+9+10=\frac{10 \times 11}{2}\).
Un hexagone d'ordre \(n\) est une figure hexagonale régulière formée de petits hexagones réguliers avec \(n\) hexagones sur chaque côté (ci-contre hexagone d'ordre 4).
Les petits hexagones sont appelés cellules.
On note \(C(n)\) le nombre d e cellules d'un hexagone d'ordre \(n\).

Un hexagone magique d'ordre \(n\) est un hexagone d'ordre \(n\) dont les \(C(n)\) cellules sont remplies par tous les entiers de 1 à \(C(n)\), de telle sorte que la somme des entiers de chaque ligne (dans toutes les directions comme dans la figure cicontre) soit toujours la même.

La somme obtenue est alors appelée somme magique et notée \(S(n)\).

1. Hexagone magique d'ordre 3

(a) Préciser le nombre de cellules \(C(3)\) d'un hexagone d'ordre 3.
(b) En utilisant la formule, calculer la somme des entiers de 1 à \(C(3)\).
(c) En déduire la somme magique \(S(3)\).
(d) On étudie le cas d'un hexagone magique d'ordre 3 déjà partiellement rempli.

Les lettres servent uniquement à repérer les cellules.

Compléter cet hexagone magique.
Justifier la position du premier nombre placé avec certitude.

2. Etude du cas général

(a) Justifier que \(C(n)=3 n^{2}-3 n+1\).
(b) Quel est, en fonction de \(n\), le nombre de lignes horizontales d'un hexagone d'ordre \(n\) ?
(c) Quelle est la somme des entiers de 1 à \(C(4)\) ?

Peut-il exister un hexagone magique d'ordre 4 ?