Exercice 2 — Une chasse au trésor

Sujet

Sur une route graduée (unité 1 km ), un trésor a été placé au point T d'abscisse entière \(n\). Jérémy, placé initialement au point O d'abscisse 0 , part à sa recherche. Dessin :

On admet que : le fait d'être au point \(\mathbf{T}\) permet de trouver le trésor si celui-ci s'y trouve. Ne sachant pas où est placé le trésor, Jérémy décide d'appliquer la tactique suivante :

Ou bien il trouve le trésor au point O et il le prend, ou bien il décide de se rendre au point A d'abscisse 1 et donc de faire un kilomètre vers la droite. Si le trésor s'y trouve, sa recherche est terminée et pour le découvrir, Jérémy a parcouru 1 km . Dans le cas contraire, il décide de changer de direction et de parcourir deux kilomètres vers la gauche. Il peut ainsi découvrir le trésor si celui-ci se trouve au point B d'abscisse -1 . Si le trésor s'y trouve, sa recherche est terminée et pour le découvrir, Jérémy a parcouru \(3 \mathrm{~km}(1 \mathrm{km}+2 \mathrm{~km}\) ). Dans le cas contraire, il décide de changer de direction et de parcourir quatre kilomètres vers la droite. Il peut ainsi découvrir le trésor si celui-ci se trouve au point C d'abscisse 2 (dans ce cas, sa recherche est terminée et pour le découvrir, Jéréemy a parcouru \(1 \mathrm{~km}+2 \mathrm{~km}+3 \mathrm{~km}\) soit 6 km ) mais aussi au point D d'abscisse 3 . Si arrivé au point d'abscisse trois, il n'a rien trouvé, il décide de changer de direction et de parcourir huit kilomètres vers la gauche. Il peut ainsi découvrir le trésor si celui-ci se trouve aux points d'abscisses respectives \(-2,-3,-4\) et -5 .

Question 1

Si, arrivé au point d'abscisse -5 , il n'a rien trouvé, que fait Jérémy?

Question 2

En poursuivant éventuellement le dessin suivant, compléter le tableau ci-dessous :

Question 3 :

Par la méthode de votre choix, que vous préciserez, déterminer le nombre de kilomètres parcourus par