Sujet
On donne un cercle de centre O et deux diamètres perpendiculaires \([\mathrm{AB}]\) et \([\mathrm{CD}]\). M étant un point du segment \([\mathrm{AB}]\), on trace (CM), qui recoupe le cercle en N . La tangente en \(N\) au cercle et la perpendiculaire en \(M\) à \((A B)\) se coupent en \(P\). Montrer que \(O P=C M\).
Les points O,M,N,P sont cocycliques.
Cela résulte du fait que les angles \(\widehat{O M P}\) et \(\widehat{O N P}\) sont droits, les points M et N sont donc situés sur le cercle de diamètre OP .
Le quadrilatère OMNP étant inscriptible, on a : \(\widehat{N O P}=\widehat{N M P}\) comme angles inscrits qui interceptent le même arc NP.
Or, \(\widehat{N M P}=\widehat{N C D}\) comme angles correspondants
et \(\widehat{N C D}=\widehat{N C O}=\widehat{O N C}\) (triangle OCN isocèle)
Donc : \(\widehat{N O P}=\widehat{O N C}\).
Ces angles occupent la position d'alternes internes relativement aux droites (CN) et (OP) coupées par la sécante ( ON ), le parallélisme de ( CM ) et ( OP ) en découle. ( CO ) et ( MP ) d'une part et ( CM ) et ( OP ) d'autre part étant parallèles, le quadrilatère OCMP est un parallélogramme, et \(O P=C M\).