Exercice 1

1. \(r\) est le reste de la division euclidienne de \(n\) par 7. C'est alors un entier qui vérifie \(0 \leqslant r<7\).
   \(r\) peut donc prendre l'une des sept valeurs \(0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5\) ou 6 .
2. \(n^{2}=(7 q+r)^{2}=49 q^{2}+14 q r+r^{2}=7\left(7 q^{2}+2 q r\right)+r^{2}\)

Si \(r^{2}=7 q^{\prime}+r^{\prime}\) avec \(0 \leqslant r^{\prime}<7\) est la division euclidienne de \(r^{2}\) par 7 alors :
\(n^{2}=7\left(7 q^{2}+2 q r\right)+7 q^{\prime}+r^{\prime}=7\left(7 q^{2}+2 q r+q^{\prime}\right)+r^{\prime}\) avec \(0 \leqslant r^{\prime}<7\). Or \(Q=7 q^{2}+2 q r+q^{\prime} \in \mathbf{N}\) et l'écriture : \(n^{2}=7 Q+r^{\prime}\) avec \(0 \leqslant r^{\prime}<7\) est la division euclidienne de \(n^{2}\) par 7 .
Autrement dit, \(n^{2}\) et \(r^{2}\) ont le même reste par 7
A l'aide d'un tableau, je résume les restes possibles de \(r^{2}\) par 7 .

Les seuls restes possibles de \(n^{2}\) par 7 sont donc \(0,1,2\) ou 4.
3. Dire que 7 divise \(n^{2}\) signifie que le reste \(r^{\prime}\) de la division de \(n^{2}\) par 7 est 0 . Or, d'après le tableau, ceci n'est possible que dans un seul cas, lorsque \(r\) vaut lui-même 0 , autrement dit lorsque 7 divise \(n\). En conclusion : si 7 divise \(n^{2}\) alors il divise \(n\).
4. Les seuls restes possibles de \(n^{2}\) et de \(m^{2}\) par 7 étant (d'après 2 .) \(0,1,2\) ou 4 , ici, c'est un tableau à double entrée qui me permet de résumer les restes :

Les restes atteints sont \(0,1,2,3,4,5\) et 6 .
5. Toutefois, le reste 0 , soit 7 divise \(n^{2}+m^{2}\) est atteint dans le seul cas où 7 divise simultanément \(n^{2}\) et \(m^{2}\).
D'où la conclusion : si 7 divise \(n^{2}+m^{2}\) alors 7 divise \(n\) et \(m\).