Exercice 3

Sujet

On cherche à modéliser la répartition des habitants et la surface occupée par chacun d'eux dans deux villes particulières de \(N\) habitants (où \(N\) est un nombre entier). Pour cela on étudiera deux modèles.

A.Modèle 1

On considère que la ville est une bande de terre le long de la mer. On modélise le territoire de cette ville par une suite de carrés alignés (voir la figure 1). Notons \(A\) le nombre de carrés qui composent la ville.

figure 1

La répartition des habitants suit le modèle suivant : on construit aléatoirement une liste de \(N\) nombres entiers distincts choisis entre 1 et \(A\) (correspondant à chacun des habitants), et on place chacun des \(N\) habitants au centre du carré correspondant à son numéro. On répartit alors la surface de la ville entre ses habitants en attribuant chaque point de la surface des carrés qui la composent à la personne la plus proche de ce point.

1. Dans cette question, on prend \(N=3\) et \(A=9\).

1

2

3

4

5

6

7

8

9

figure 2

On a construit de manière aléatoire la liste des 3 valeurs suivantes correspondants à chacun des 3 habitants : \(2 ; 8 ; 9\).
Recopier le tableau, placer ces 3 habitants et représenter par trois couleurs différentes la surface occupée par chacun d'eux. Donner alors l'aire de chacune de ces surfaces (l'unité d'aire est l'aire d'un des carrés qui composent la ville).
2. Dans cette question \(N\) et \(A\) sont deux entiers quelconques (avec \(N \leqslant A\) ) et chaque carré a toujours une surface d'une unité.
a) Quelle est l'aire de la plus petite surface possible pour un habitant? (justifier)
b) Quelle est l'aire de la plus grande surface possible pour un habitant? (justifier)