Sujet
Si l'on devait définir une droite, on penserait à « le plus court chemin entre deux points » (définition intrinsèque) et à « ce que l'on trace avec une règle»; mais cette deuxième définition apparemment effective n'en est pas une : on construit une droite avec une droite (la règle), c'est-à-dire que l'on copie une droite préexistante.
La question se pose donc : existe-t-il un outil, pour tracer des droites, ne faisant aucun usage d'une droite préexistante?
Jusqu'à l'époque des premières machines à vapeur, les artisans savaient fabriquer des pièces raisonnablement droites. Mais on ne savait pas faire mouvoir une pièce dans un mouvement rectiligne parfait. Pourtant, dans pratiquement toutes les machines de production on a besoin de pièces qui se déplacent suivant un mouvement rectiligne. Ainsi toutes les nations, où l'industrie moderne se développait, cherchaient des machines produisant des mouvements rectilignes parfaits. De très grands mathématiciens ont participé à ces recherches.
La première solution exacte, dont toutes les autres découlent, est due à Charles Nicolas Peaucellier (1832-1913), officier des armées françaises.
La machine de Peaucellier
Il s'agit ici de voir pourquoi la machine de Peaucellier permet un mouvement rectiligne parfait.
I - Une nouvelle transformation : l'inversion
Définition : Étant donnés un point O du plan et un réel \(k\) positif non nul, on appelle inversion de centre O , de puissance \(k\) la transformation qui à tout point M du plan, distinct de O , fait correspondre le point M' de la demi-droite [OM) tel que \(O M \times O M^{\prime}=k\).- Images de points : Soit O un point donné.
a) Soit M un point situé à 4 unités de O . Tracer l'image M ' de M par l'inversion de centre O et de puissance \(k=6\).
b) Quelle est l'image de ce point M' par cette même inversion ?
c) Le point O a-t-il une image par cette inversion ? Pourquoi ?
d) Existe-t-il des points du plan invariants par cette inversion de centre O, de puissance \(k=6\) (c'est-à-dire des points qui sont leur propre image par cette inversion) ? Si oui, quel ensemble décrivent-ils?
e) Construction dans le cas général, une unité étant choisie. Soit N un point quelconque, distinct de O.
Compléter les figures ci-dessous en construisant, à la règle non graduée et au compas, l'image de N par l'inversion de centre O , de puissance \(k\), réel positif quelconque fixé.
I - Une nouvelle transformation : l'inversion
- a) On place \(\mathrm{M}^{\prime}\) sur \([\mathrm{OM})\) à \(1,5 \mathrm{~cm}\) de O
b) L'image de M' est le point Z tel que Z est sur [OM') avec \(O M \times O Z=6\). Il s'agit donc du point M.
c) Le point O n'a pas d'image car d'une part la demi-droite \([\mathrm{OO})\) n'est pas définie, d'autre part le produit de la distance OO avec n'importe quel réel donne 0 et non 6 .
d) ) Si M est un point invariant, alors \(O M \cdot O M=6\), soit \(O M^{2}=6\), M est donc un point du cercle de centre O et de rayon \(\sqrt{6}\). Réciproquement, si M est un point de ce cercle, les points O , M et M sont alignés et vérifient \(O M . O M=6\), donc M est sa propre image.
e) Pour tout point N distinct de \(\mathrm{O}, O N \cdot O N=k\) équivaut à \(O N=\frac{k}{O N}\) ou encore \(\frac{O N}{1}=\frac{k}{O N}\). On utilise le théorème de Thalès pour obtenir A , puis on reporte OA sur \([\mathrm{ON})\).
- a) R est l'image de M donc \(O R . O M=k\).
C est l'image de P donc \(O C \cdot O P=k\). Ainsi \(O R \cdot O M=O C \cdot O P\) soit \(\frac{O M}{O P}=\frac{O C}{O R}\).
b) On a \(\cos (\widehat{M O P})=\frac{O C^{\prime}}{O R}\) dans le triangle OC'R, rectangle en C'
et \(\cos (\widehat{M O P})=\frac{O M}{O P}\) dans le triangle OMP, rectangle en M.
Ainsi \(\frac{O C^{\prime}}{O R}=\frac{O C}{O R}\) donc \(O C=O C^{\prime}\) et \(\mathrm{C}=\mathrm{C}^{\prime}\).
c) L'angle \(\widehat{O C R}\) est droit puisque le triangle OC'R est rectangle en C'.
d) \(\widehat{O C R}=90^{\circ}\) donc C appartient au cercle de diamètre [OR].
L'ensemble des points C est donc inclus dans le cercle de diamètre [OR].
e) Réciproquement, lorsque C est un point de ce cercle, autre que O , en désignant par \(\mathrm{P}^{\prime}\) le projeté orthogonal de P sur (OR), on montre (de la même manière) que \(\mathrm{P}^{\prime}\) et M sont confondus. Donc P est sur la perpendiculaire à (OR) en M c'est-à-dire sur la droite \(d\).
II - Analyse de la machine de Peaucellier
- Le système articulé est construit tel que \(O A=O B, C A=C B\) et \(P A=P B\).
Ainsi \(\mathrm{O}, \mathrm{C}\) et P sont trois points de la médiatrice de \([\mathrm{AB}]\). Ils sont donc alignés.
2. \(O C \cdot O P=(O Z-C Z)(O Z+Z P)\) (O,C,Z,P alignés)
\[ \begin{aligned} & =(O Z-Z P)(O Z+Z P) \\ & =O Z^{2}-Z P^{2} \\ & =\left(O A^{2}-A Z^{2}\right)-\left(A P^{2}-A Z^{2}\right) \text { (Théorème de Pythagore dans AZO et AZP) } \\ & =O A^{2}-A P^{2} \text { qui est constant. } \end{aligned} \]
- Il résulte de la partie I que le point P se déplace sur la droite \(d\). La machine de Peaucellier engendre donc un mouvement rectiligne.
B - Modèle 2
On considère que la ville peut être modélisée par un territoire carré.On choisit un nombre entier \(A\) supérieur ou égal à \(N\) tel que \(A\) soit le carré d'un entier.
On divise ce «carré-ville» en \(A\) petits carrés de même taille que l'on numérote de 1 à \(A\).
On construit aléatoirement une liste de \(N\) nombres entiers distincts choisis entre 1 et \(A\), et on place chacun des \(N\) habitants au centre du carré correspondant à son numéro.
On répartit alors la surface de la ville en attribuant chaque point de la
| 1 | 2 | 3 |
| 4 | 5 | 6 |
| 7 | 8 | 9 |
surface des carrés qui la composent à la personne la plus proche de ce point.
- Dans cette question on prend \(N=3\) et \(A=9\).
On conserve la liste des 3 valeurs précédentes : \(2 ; 8 ; 9\).
Recopier le tableau, placer les 3 habitants, et représenter en couleur la surface occupée par chacun de ces habitants.
Donner alors l'aire de cette surface en supposant toujours que la surface de chaque petit carré a une aire égale à une unité.
2. En général, en posant la surface de chaque petit carré égale à 1 , dans un modèle à \(N\) habitants et \(A\) petits carrés (avec \(N \leqslant A\) ).
a) Quelle est l'aire de la surface moyenne par habitant ?
b) Quelle est l'aire de la plus petite surface possible pour un habitant ?
c) Montrer que l'aire de la plus grande surface possible pour un habitant n'a pas la même valeur que celle obtenue dans le modèle précédent, où la ville est située en bord de mer.