Sujet
On note \(\mathrm{P}_{n}\) un polygone convexe à \(n(n \geqslant 3)\) sommets.
Par ailleurs, deux triangles sont d'intérieurs disjoints s'ils n'ont pas de point commun ou si leurs points communs appartiennent à un de leurs côtés.
- Montrer que tout polygone \(\mathrm{P}_{n}\) est la réunion de \(n-2\) triangles dont les intérieurs sont deux à deux disjoints.
On dira qu'une telle réunion de \(n-2\) triangles dont les intérieurs sont deux à deux disjoints est une triangulation de \(\mathrm{P}_{n}\), et l'on admettra dans la suite que toute triangulation de \(\mathrm{P}_{n}\) contient exactement \(n-2\) triangles. - a) Représenter toutes les triangulations comportant 2 triangles de \(\mathrm{P}_{4}\).
b) Représenter toutes les triangulations comportant 3 triangles de \(\mathrm{P}_{5}\).
c) Montrer que \(\mathrm{P}_{6}\) admet une triangulation dont au moins l'un des triangles n'a aucun côté au bord de \(\mathrm{P}_{6}\). - Montrer que l'on peut toujours colorier les triangles d'une triangulation de \(\mathrm{P}_{n}\) en noir et en blanc de telle sorte que deux triangles qui ont une arête commune ont des couleurs différentes.
On supposera dorénavant que les triangles d'une triangulation ont été coloriés en noir ou en blanc de façon à ce que deux triangles qui ont une arête commune soient toujours de couleurs différentes. Une telle triangulation sera dite admissible si tous les triangles ayant au moins une arête au bord de \(P_{n}\) ont la même couleur (par exemple noir).
4. Trouver, lorsqu'elles existent, toutes les triangulations admissibles de \(\mathrm{P}_{3}, \mathrm{P}_{4}, \mathrm{P}_{5}\) et \(\mathrm{P}_{6}\).
5. Montrer que pour tout \(k \geqslant 1, \mathrm{P}_{3 k}\) a au moins une triangulation admissible.
6. Montrer que toute triangulation admissible de \(\mathrm{P}_{3 k}\) a exactement \(2 k-1\) triangles d'une couleur et \(k-1\) triangles de l'autre couleur.
7. Montrer que pour tout \(k \geqslant 1, \mathrm{P}_{3 k+1}\) et \(\mathrm{P}_{3 k+2}\) n'ont aucune triangulation admissible.
- Soient \(\mathrm{A}_{1}, \mathrm{~A}_{2}, \ldots \mathrm{~A}_{n}\) les n sommets du polygone \(\mathrm{P}_{n}\), nommés dans le sens trigonométrique. Les triangles \(\mathrm{A}_{1} \mathrm{~A}_{2} \mathrm{~A}_{3}\), \(\mathrm{A}_{1} \mathrm{~A}_{3} \mathrm{~A}_{4}, \ldots \mathrm{~A}_{1} \mathrm{~A}_{n-1} \mathrm{~A}_{n}\) sont \(n-2\) triangles d'intérieurs disjoints dont la réunion forme \(\mathrm{P}_{n}\).
Autre méthode : Si \(n=3\), il n'y a rien a faire.
Si \(n>3\), on choisit un sommet et on retranche le triangle formé de ce sommet et de ses deux voisins de \(\mathrm{P}_{n}\).
Cela réduit le nombre de sommets de 1 et on peut itérer cela \(n-3\) fois avant d'arriver au cas \(n=3\). Il y a donc \(n-3+1=n-2\) triangles en tout.
N.B. Ces raisonnements ne prouvent pas que toute triangulation comporte \(n-2\) triangles.