Exercice 2 — Drôle de distance — Olympiades 2012 Dijon

Sujet

Dans le plan muni d'un repère orthonormal, on trace toutes les droites d'équation \(x=m\) et \(y=n\) pour tous les entiers relatifs \(m\) et \(n\), et on considère le réseau formé de tous leurs points d'intersection. Ce réseau est donc constitué de tous les points du plan ayant des coordonnées entières. On définit la distance entre deux points A et B du réseau comme la plus courte distance reliant ces deux points, si l'on suit les lignes tracées. On la note \(d(\mathrm{~A}, \mathrm{~B})\). On considère les points \(\mathrm{O}(0,0), \mathrm{A}(8,0), \mathrm{B}(3,3), \mathrm{C}(2,-4)\).

1. Quelques généralités

a) Vérifier que \(d(\mathrm{~A}, \mathrm{~B})=8\), puis calculer les autres distances mutuelles entre les points \(\mathrm{O}, \mathrm{A}, \mathrm{B}\), C.
b) Si \(\mathrm{M}(x, y)\) et \(\mathrm{N}\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right)\) sont deux points du réseau, exprimer \(d(\mathrm{M}, \mathrm{N})\) en fonction de \(x, x^{\prime}, y, y^{\prime}\). En déduire que la distance entre deux points du réseau est un nombre entier.
c) Soit \(\mathrm{M}, \mathrm{N}\) et P trois points du réseau. Montrer que parmi les trois nombres \(d(\mathrm{M}, \mathrm{P}), d(\mathrm{P}, \mathrm{N})\) et \(d(\mathrm{M}, \mathrm{N})\) :

soit il y a trois nombres pairs ;
soit il y a un nombre pair et deux nombres impairs.

2. Cercle

Si I est un point du réseau et \(r\) un entier strictement positif, le cercle de centre I et de rayon \(r\) est l'ensemble des points M du réseau tels que \(d(\mathrm{I}, \mathrm{M})=r\). On le note \(\mathrm{c}(\mathrm{I}, r)\).
a) Montrer que les points B et C appartiennent à \(\mathrm{c}(\mathrm{O}, 6)\), puis représenter ce cercle.
b) Combien de points y a-t-il sur un cercle de rayon \(r\) ?

3. Médiatrice d'un segment

Soient I et J deux points du réseau. La médiatrice du segment [IJ] est l'ensemble des points M du réseau tels que \(d(\mathrm{M}, \mathrm{I})=d(\mathrm{M}, \mathrm{J})\)..
a) Dessiner les points de la médiatrice du segment \([\mathrm{OA}]\) dont l'ordonnée est comprise entre -6 et 6.
[0pt] b) Dessiner les points de la médiatrice du segment [AC] dont l'ordonnée est comprise entre -8 et 4 .
[0pt] c) Dessiner les point de la médiatrice du segment [OB] dont l'abscisse et l'ordonnée sont comprises entre -3 et 6 .
[0pt] d) d) Que peut-on dire de la médiatrice du segment [IJ] si \(d(\) I, J) est impair?

a) \(d(\mathrm{O}, \mathrm{A})=8, d(\mathrm{O}, \mathrm{B})=d(\mathrm{O}, \mathrm{C})=6, d(\mathrm{~A}, \mathrm{~B})=d(\mathrm{~B}, \mathrm{C})=8, d(\mathrm{~A}, \mathrm{C})=10\)
b) \(d(\mathrm{M}, \mathrm{N})=\left|x-x^{\prime}\right|+\left|y-y^{\prime}\right|\).
c) \(d(\mathrm{M}, \mathrm{N})\) a la même parité que \(\left(x-x^{\prime}\right)+\left(y-y^{\prime}\right)\). Posons \(\mathrm{P}\left(x^{\prime \prime}, y^{\prime \prime}\right)\).
\(d(\mathrm{M}, \mathrm{P})\) a la même parité que \((x-x ")+(y-y ")\) et \(d(\mathrm{~N}, \mathrm{P})\) a la même parité que \(\left(x^{\prime \prime}-x^{\prime}\right)+ \left(y^{\prime \prime}-y^{\prime}\right)\).
La somme de ces deux nombres est égale au premier. Si les deux nombres sont pairs ou impairs tous les deux, la somme est paire, s'ils ont des parités différentes, la somme est impaire. Le résultat en découle.