Exercice 1 — Le tour de magie

Sujet

On se propose d'étudier le tour d'illusionniste suivant.
Le magicien demande à un spectateur de choisir un nombre d'au moins trois chiffres et de lui donner le reste de la division euclidienne par 9 de ce nombre. Il lui demande ensuite d'éliminer secrètement un des chiffres (non nul) du nombre choisi, de diviser le nombre obtenu par 9 et de lui communiquer le reste. Le magicien annonce alors le chiffre qui a été supprimé.

Le magicien utilise l'algorithme suivant :

• si les deux restes sont égaux, le chiffre supprimé est le 9 ;
• si le second reste est inférieur au premier, le chiffre supprimé est la différence des deux restes ;
• sinon, le chiffre supprimé est la somme du premier reste et de 9 , à laquelle on retranche le second reste.

1. Émile choisit le nombre 2012. Il décide de supprimer le 1. Décrire le déroulement du tour de magie dans ce cas en détaillant les calculs.
2. Émile choisit un nombre à quatre chiffres dont le reste de la division par 9 est 6 :

• lorsqu'il supprime le chiffre des milliers, il obtient 4 comme second reste;
• lorsqu'il supprime le chiffre des centaines, il obtient 1 comme second reste;
• lorsqu'il supprime le chiffre des dizaines, il obtient 6 comme second reste;
• lorsqu'il supprime le chiffre des unités, il obtient 7 comme second reste.

Quel est le nombre choisi par Émile?
3. Pourquoi le magicien demande-t-il au spectateur de ne pas supprimer un zéro dans le nombre qu'il a choisi? On pourra illustrer la réponse à l'aide d'un exemple.
4. Démontrer, pour un nombre à trois chiffres, l'affirmation suivante :
«Lorsque l'on divise un nombre par 9, le reste obtenu est le même que lorsque l'on divise la somme des chiffres de ce nombre par 9. »

On admet désormais que ce résultat reste valable pour tout nombre entier.
5. Démontrer que pour un nombre de trois chiffres, l'algorithme du magicien renvoie toujours le bon résultat.