Sujet
L'artiste Nombredor de Clichy-sous-Bois souhaite peindre un tableau représentant une parabole et un triangle rectangle isocèle « porté » par cette parabole.
Pour cela, il envisage l'étude suivante :
Il munit le plan d'un repère orthonormé ( \(O, \vec{i}, \vec{j}\) ), puis il considère la parabole ( \(P\) ) d'équation \(y=x^{2}\) et le point A de coordonnées \((0 ; 1)\).
Nous vous proposons dans cet exercice de l'aider à déterminer toutes les positions des deux points M et M' sur la parabole tels que le triangle AMM' soit rectangle et isocèle en A.
- On note \(a\) et \(b\) les abscisses respectives de M et \(\mathrm{M}^{\prime}\). Expliquer pourquoi on a : \(\mathrm{M}\left(a ; a^{2}\right)\) et \(\mathrm{M}^{\prime}\left(b ; b^{2}\right)\).
- a) Montrer, en utilisant le théorème de Pythagore, que la phrase : «AMM' rectangle en A» peut se traduire par l'égalité \(a b+\left(a^{2}-1\right)\left(b^{2}-1\right)=0\).
b) Traduire par une égalité la phrase «AMM' est isocèle en A». - À l'aide des réponses apportées aux questions précédentes, déterminer toutes les positions des deux points M et M' sur la parabole tels que le triangle AMM' soit rectangle et isocèle en A.
Mise en place de conjectures avec un logiciel de géométrie dynamique
On prend un point M variable sur la parabole.
On construit la droite orthogonale à la droite (AM) passant par A.
Elle recoupe la parabole en deux points (sauf pour dans deux cas).
Sept positions du point M semblent satisfaire aux deux conditions (l'une d'entre elles donne deux triangles solutions).
Résolution par le calcul
On considère deux points \(\mathrm{M}\left(a, a^{2}\right)\) et \(\mathrm{M}^{\prime}\left(\left(b, b^{2}\right)\right.\) avec \(a \neq b\)\(\left\{\begin{aligned} \overrightarrow{A M} \cdot \overrightarrow{A M^{\prime}} & =0 \\ A M^{2} & =A M^{\prime 2}\end{aligned} \Leftrightarrow\left\{\begin{aligned} a b+\left(a^{2}-1\right) \cdot\left(b^{2}-1\right) & =0 \\ a^{2}+\left(a^{2}-1\right)^{2} & =b^{2}+\left(b^{2}-1\right)^{2}\end{aligned}\right.\right.\)