Exercice 3 — Paraboles

Sujet

Le plan est muni d'un repère orthonormal \((O, \vec{i}, \vec{j})\).
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbf{R}\) par : \(f(x)=\frac{1}{4} x^{2}-2 x+5\). On note \((C)\) sa représentation graphique.

1. a) Donner l'équation de la tangente ( \(T\) ) à la courbe ( \(C\) ) au point d'abscisse 0 .
   b) Soit \(a\) un réel non nul, on appelle ( \(T_{a}\) ) la tangente à ( \(C\) ) au point d'abscisse \(a\).

Montrer que ( \(T_{a}\) ) et ( \(T\) ) se coupent en un point I dont on déterminera l'abscisse en fonction de \(a\).
c) Déduire de la question b. un procédé simple de construction de la tangente ( \(T_{a}\) ) lorsque \(a\) est donné.
d) Sur la figure 1, en annexe, on a tracé \((C)\) et \((T)\). Construire sans utiliser le calcul de la dérivée, et avec précision, les tangentes aux points d'abscisses respectives 4,6 et 7 .
2. On définit la «parabole dérivée» ( \(P\) ) de la parabole ( \(C\) ) comme l'ensemble des points de coordonnées ( \(f^{\prime}(x) ; f(x)\) ) où \(x\) décrit l'ensemble des réels.
a) Calculer \(f^{\prime}(x)\), puis montrer que \(x=2 f^{\prime}(x)+4\).
b) Montrer que la «parabole dérivée» ( \(P\) ) de ( \(C\) ) a pour équation : \(y=x^{2}+1\).
c) Sur la figure 2 en annexe, on a tracé \((C)\) et \((P)\).

Construire sans utiliser le calcul de la dérivée, et avec précision, les tangentes à ( \(C\) ) aux points d'abscisses respectives 2 , 4 et 6 .

figure 1