Sujet
L'artiste Nombredor de Clichy-sous-Bois souhaite peindre un tableau représentant une parabole et un triangle rectangle isocèle « porté » par cette parabole.
Pour cela, il envisage l'étude suivante :
Il munit le plan d'un repère orthonormé ( \(O, \vec{i}, \vec{j}\) ) puis il considère la parabole ( P ) d'équation \(y=x^{2}\) et le point A de coordonnées \((0 ; 1)\).
Nous vous proposons de l'aider à déterminer toutes les positions des deux points M et M' sur la parabole tels que le triangle AMM' soit rectangle et isocèle en A.
Mise en place de conjectures avec un logiciel de géométrie dynamique
On prend un point M variable sur la parabole.On construit la droite orthogonale à la droite (AM) passant par A.
Elle recoupe la parabole en deux points (sauf dans deux cas).
Sept positions du point M semblent satisfaire aux deux conditions (l'une d'entre elles donne deux triangles solutions).
Résolution par le calcul
On considère deux points \(\mathrm{M}\left(a, a^{2}\right)\) et \(\mathrm{M}^{\prime}\left(\left(b, b^{2}\right)\right.\) avec \(a \neq b\)\(\left\{\begin{aligned} \overrightarrow{A M} \cdot \overrightarrow{A M^{\prime}} & =0 \\ A M^{2} & =A M^{\prime 2}\end{aligned} \Leftrightarrow\left\{\begin{aligned}\left(a^{2}-1\right) \cdot\left(b^{2}-1\right) & =0 \\ a^{2}+\left(a^{2}-1\right)^{2} & =b^{2}+\left(b^{2}-1\right)^{2}\end{aligned}\right.\right.\)
Conjecture avec un logiciel de calcul formel
Sur calculatrice
