Olympiades · Académie Créteil · 2012 · Série S
AlgorithmiqueÉquations / Fonctions
On considère le programme suivant, nommé TAYLOR (version 2.012)
Début TAYLOR
Variables du type nombre : \(a, b, c, d, t, x\)
Variables du type fonction : \(f, f_{1}, f_{2}, p\)
Saisir \(a, b, c, d, t\)
\(f(x):=a x^{3}+b x^{2}+c x+d\)
\(f_{1}:=\) dérivée de \(f\)
\(f_{2}:=\) dérivée de \(f_{1}\)
\(p(x):=f(t)+f_{1}(t) \cdot(x-t)+\frac{f_{2}(t)}{2}(x-t)^{2}\)
Afficher \(f_{2}(t)\)
Afficher \(p(x)\)
Fin TAYLOR
Même question pour \((a, b, c, d, t)=(1,0,1,0,1)\).
Lorsque \(f_{2}(t) \neq 0\), nous dirons que la représentation graphique de la fonction \(p\) est la «parabole de Taylor » de \(f\) au point d'abscisse \(t\); on la notera ( \(P_{1}\) ).
2. On exécute TAYLOR pour \((a, b, c, d, t)=(1,1,1,1,0)\).
Sur la figure 1, en annexe, on, a tracé la courbe ( \(C\) ) représentant la fonction \(f\)
a) Vérifier que l'on obtient \(f_{2}(0)=2\) et \(p(x)=x^{2}+x+1\).
b) Tracer ( \(P_{0}\) ), la «parabole de Taylor » au point d'abscisse 0 .
Quelle conjecture peut-on faire sur la position relative de ( \(C\) ) et ( \(P_{0}\) )?
c) Étudier la position relative de ( \(C\) ) et ( \(P_{0}\) ).
3. On exécute TAYLOR pour \((a, b, c, d, t)\).
On obtient
\(f_{2}(t)=6 a t+2 b\)
\(p(x)=a t^{3}+b t^{2}+c t+d+\left(3 a t^{2}+2 b t+c\right)(x-t)+\frac{(6 a t+2 b)}{2}(x-t)^{2}\).
Un logiciel de calcul formel nous donne l'écran ci-dessous :
| 1 | \(\mathrm{f}(\mathrm{x}):=\mathrm{a}^{*} \mathrm{x}^{\wedge} 3+\mathrm{b}^{*} \mathrm{x}^{\wedge} 2+\mathrm{c}^{*} \mathrm{x}+\mathrm{d}\) |
| \(x \rightarrow a^{*} x^{3}+b^{*} x^{2}+c * x+d\) | |
| 2 | \(\mathrm{p}(\mathrm{x})=\mathrm{a}^{*} \mathrm{t}^{\wedge} 3+\mathrm{b}^{*} \mathrm{t}^{\wedge} 2+\mathrm{c}^{*} \mathrm{t}+\mathrm{d}+\left(3^{*} \mathrm{a}^{*} \mathrm{t}^{\wedge} 2+2^{*} \mathrm{~b}^{*} \mathrm{t}+\mathrm{c}\right)^{*}(\mathrm{x}-\mathrm{t})+\left(6^{*} \mathrm{a}^{*} \mathrm{t}+2^{*} \mathrm{~b}\right) / 2^{*}(\mathrm{x}-\mathrm{t})^{\wedge} 2\) |
| \(\boldsymbol{x}\) ðà | \(a^{*} t^{3}+b * t^{2}+c * t+d+\left((3 * a) * t^{2}+(2 * b) * t+c\right) *(x-t)+\left(\cdots<\cdots<-\frac{1}{2}+2 * b\right) *(x-t) 2\) |
| 3 | factor(f(x)-p(x)) |
| \((x-t)^{3}\) * \(a\) | |
a) Tester le résultat affiché par le logiciel pour \((a, b, c, d, t)=(1,0,1,0,1)\).
Aucun corrigé disponible pour cet exercice dans la source APMEP.