Sujet
Le but de cet exercice est de modéliser et calculer l'aire des pales d'une hélice dont un exemple est représenté ci contre. Pour simplifier on ne considérera que des surfaces planes.
- Pour cela on considère un hexagone régulier, c'est-à-dire un un polygone ayant six côtés, ayant tous la même longueur et dont les sommets sont sur un même cercle de centre O .
ABCDEF est un hexagone régulier de côté \(R \mathrm{~cm}\). On considère les cercles ( \(C\) ) de centre B , ( \(C^{\prime}\) ) de centre D , ( \(C^{\prime \prime}\) ) de centre F , de rayons \(R \mathrm{~cm}\).
a) Démontrer que les trois cercles passent par le point O.
b) Déterminer en fonction de \(R\), l'aire de la portion de plan limitée par les arcs de ces cercles d'extrémités A et O , représentant une pale de l'hélice.
- On veut améliorer le modèle de la forme de chaque pale, en «arrondissant» l'extrémité . On considère donc un cercle ( \(\Gamma\) ) dont le centre K est situé sur le segment [ OA ], à une distance \(A K=R / 10\) de A , et tangent en un point M au cercle \((C)\) de centre B et de rayon \(R\).
a) Déterminer en fonction de \(R\), le rayon \(r\) du cercle \((\Gamma)\).
b) Sachant que la longueur \(O N\) de la pale obtenue est 1 mètre, déterminer sa largeur calculée au niveau du point I, milieu du segment [OA].
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