Exercice 1

Sujet

On appelle « grille» du plan l'ensemble des points, sommets des carrés d'un quadrillage de 1 cm de côté.

La figure 1 représente de façon simplifiée la forme du tour de la Corse, à l'aide de trois segments dont les extrémités sont des points de la grille.
La même «forme » c'est à dire avec des segments parallèles à ceux-ci, peut être obtenue avec davantage de points de la grille comme le montre la figure 2.

figure 2

1. Le nombre de points de la grille situés sur ces segment est un nombre entier naturel appelé nombre \(<\) tour de Corse \(>\). On note \(\mathrm{T}_{1}, \mathrm{~T}_{2}, \ldots, \mathrm{~T}_{n}, \ldots\) les nombres \(<\) tour de Corse » ordonnés en ordre croissant. Ainsi \(\mathrm{T}_{1}=6\) et \(\mathrm{T}_{2}=12\).
   a) Déterminer \(T_{3}\) et \(T_{4}\).
   b) Calculer \(\mathrm{T}_{100}\) et déterminer la longueur en centimètres de la ligne brisée représentant la Corse en passant par ces points.
2. Le nombre de points de la grille situés sur le bord ou à l'intérieur de la représentation de la Corse est appelé nombre « Corse». On note \(\mathrm{C}_{1}, \mathrm{C}_{2}, \ldots, \mathrm{C}_{n}, \ldots\) les nombres « Corse »ordonnés en ordre croissant.
   Ainsi \(\mathrm{C}_{1}=6\) et \(\mathrm{C}_{2}=14\).
   a) Déterminer \(\mathrm{C}_{3}\) et \(\mathrm{C}_{4}\).
   b) Déterminer le nombre «Corse» le plus proche de 2012.