Exercice 2 — Naissance de triplets (arithmétiques)

Sujet

Trois entiers naturels distincts \(a, b, c\) rangés par ordre strictement croissant, \(a

\[ c-b=b-a \]

On dit alors que ( \(a, b, c\) ) est un triplet arithmétique.

1. Compléter les triplets arithmétiques suivants :
   a. \((57,101, \ldots)\);
   b. \((57, \ldots, 101)\);
   c. \((\ldots, 57,101)\).
2. a. Peut-on trouver un triplet arithmétique ( \(a, b, c\) ) dont la somme vaut 2012 ?
   b. Combien y a-t-il de triplets arithmétiques \((a, b, c)\) de somme 2013 ?
3. On prend au hasard trois nombres \(a, b, c\) dans \(1,2,3, \ldots 10\) avec \(a
4. On rappelle qu'un entier naturel \(p\) est premier si \(p \geqslant 2\) et si ses seuls diviseurs positifs sont 1 et \(p\).
   a. Quels sont les cinq plus petits nombres premiers?
   b. Donner un triplet arithmétique ( \(a, b, c\) ) constitué uniquement de nombres premiers. Ce triplet est-il celui pour lequel la somme \(a+b+c\) est minimale ? On demande de justifier la réponse. Sinon, trouver les trois nombres premiers \(a c. Peut-on trouver un triplet arithmétique ( \(a, b, c\) ) constitué uniquement de nombres premiers et dont la somme \(a+b+c\) vaut 366 ?
5. Soit \(n\) un entier naturel supérieur ou égal à 3 . On se donne une liste \(\left[a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}\right]\), d'entiers naturels rangés par ordre strictement croissant. On veut savoir si trois de ses termes consécutifs forment un triplet arithmétique.
   a. Dans cette question uniquement, la liste est \([1,3,6,10,15,21,27,32,39\), 45]. Contient-elle un triplet arithmétique formé de trois termes consécutifs?
   b. On revient au cas général d'une liste \(\left[a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}\right]\), d'entiers rangés par ordre strictement croissant. Écrire un algorithme qui affiche, sil existe, le premier triplet arithmétique formé de trois termes consécutifs.