Exercice 1 — De toutes les couleurs

Sujet

Sur une toile blanche, une artiste en herbe place \(n\) points deux à deux distincts. (On suppose que \(n \geqslant 2\) ). Elle relie alors les deux points de toute paire de points distincts par une ligne de couleur.
Toutes les couleurs utilisées doivent être deux à deux différentes. Ainsi pour une œuvre réalisée en partant de trois points, trois couleurs sont nécessaires (fig1), tandis que pour une œuvre réalisée en partant de quatre points, six couleurs sont nécessaires (fig2).

1. a) Dessiner une œuvre possible en partant de cinq points.
   b) Combien de couleurs sont nécessaires à sa réalisation ?
   c) Combien de couleurs sont nécessaires à la réalisation d'une œuvre en partant de huit points?
2. Chacune des propositions suivantes est-elle vraie ou fausse? Justifier votre réponse.

• Proposition \(n^{o} 1\) : Il existe au moins un entier \(n\) supérieur ou égal à 2 pour lequel le nombre de couleurs nécessaires à la réalisation d'une œuvre soit égal au double du nombre initial \(n\) de points.
• Proposition \(n^{\circ} 2\) : Quel que soit l'entier \(n\) supérieur ou égal à 2 , le nombre de couleurs nécessaires à la réalisation d'une œuvre est un multiple du nombre initial \(n\) de points.
• Proposition \(n^{\circ} 3\) : Il existe au moins un entier \(n\) supérieur ou égal à 2 pour lequel le nombre de couleurs nécessaires à la réalisation d'une œuvre soit égal au triple du nombre initial \(n\) de points.

1. a) Conjecturer une formule donnant le nombre de couleurs nécessaires à la réalisation d'une œuvre en fonction du nombre initial de points. La démontrer.