Exercice 2 — Pierre et sa fille

Sujet

Pierre et sa fille Eloïse se promènent sur une route horizontale. En un point R , cette route descend faisant un angle \(\theta\) de \(5^{\circ}\) avec l'horizontal (voir figure).

Éloïse, dont les yeux sont à 1,6 mètre du sol, s'arrête en un point E , à 24 mètres du point R.

Son père continuant à marcher, passe devant le point R puis s'engage dans la partie en pente de la route.

1. Quand il se trouve à 86 mètres de R , il disparaît des yeux de sa fille. Déterminer la hauteur de Pierre.
2. Dans la partie en pente de la route, des poteaux d'une hauteur de 6,5 mètres sont plantés verticalement tous les 28 mètres, comme sur le schéma ci-dessous.
   

Le pied du premier poteau se situe à 28 mètres du point \(R\).
On admet l'hypothèse que les poteaux ne peuvent se masquer les uns des autres.
Combien Éloïse peut-elle voir de poteaux de l'endroit où elle se trouve?
3. Quelle est, en réalité, la mesure de l'angle \(\theta\), sachant qu'Éloïse ne voit que 5 poteaux?

On pourra utiliser la formule \(1+\tan ^{2} \theta=\frac{1}{\cos ^{2} \theta}\).
On donnera une valeur approchée de \(\theta\) à \(10^{-3}\) près.