Exercice 2 — Pavé droit — Olympiades 2012 Bordeaux

Sujet

\(L, S\) et \(V\) étant trois nombres réels positifs, montrer que les triplets ( \(a, b, c\) ) solutions du système \(\left\{\begin{aligned} a+b+c & =L \\ a b+a c+b c & =S \\ a b c & =V\end{aligned}\right.\) sont tels que \(a, b\) et \(c\) sont les solutions de l'équation \(X^{3}-L X^{2}+S X-V=0\).
Déterminer les dimensions d'un pavé droit dont la somme des longueurs de toutes ses arêtes est de 20 cm , la somme des aires des six faces est de \(14 \mathrm{~cm}^{2}\) et dont le volume est de \(3 \mathrm{~cm}^{3}\).
Quels sont les volumes minimum et maximum d'un pavé droit dont la somme des longueurs de toutes les arêtes est de 20 cm , la somme des aires des six faces est de \(14 \mathrm{~cm}^{2}\).

\(a^{3}-L a^{2}+S a-V=a^{3}-(a+b+c) a^{2}+(a b+b c+c a) a-a b c=0\). De même pour \(b\) et \(c\).
Les dimensions de ce pavé sont les solutions de l'équation \(X^{3}-5 X^{2}+7 X-3=0\) équivalente à \((X-1)^{2}(X-3)=0\). Les dimensions sont donc 1,1 et 3 .
Il est évident que \(0 \leqslant x \leqslant 5\). On définit la fonction \(f\) sur \([0 ; 5]\) par \(f(x)=x^{3}-5 x^{2}+7 x\) et \(f^{\prime}(x)=3 x^{2}-10 x+7=(x-1)(3 x-7)\).
La fonction \(f\) possède un minimum en \(\frac{7}{3}\) égal à \(\frac{49}{27}\) et un maximum en 1 égal à 3 .
En dehors de l'intervalle \(\left[\frac{49}{27}: 3\right]\), l'équation \(f(x)=V\) ne possède pas les trois solutions requises.

\(x\)	0	1	\(7 / 3\)	5
\(f(x)\)		\({ }^{3}\)

La valeur maximale de \(V\) est donc 3 , obtenue avec \(x=1, y=1\) et \(z=3\).
La valeur minimale de \(V\) est égale à \(\frac{49}{27}\) obtenue pour \(x=y=\frac{7}{3}\) et \(z=\frac{1}{3}\).