Exercice 2 — Une coccinelle

Sujet

Une coccinelle se déplace sur les côtés d'un carré ABCD en partant du point A. Elle peut marcher à rebours si elle le souhaite.

On appelle déplacement tout trajet de la coccinelle le long dun côté du carré. Une marche est constituée de déplacements, ainsi, \(\mathrm{A} \rightarrow \mathrm{B} \rightarrow \mathrm{A} \rightarrow \mathrm{D} \rightarrow \mathrm{C}\) est une marche de quatre déplacements dont l'arrivée est le point C .

Partie A

Dans cette partie, la coccinelle se déplace de manière aléatoire sur les côtés d'un carré ABCD et l'on considère que tous ses déplacements sont équiprobables.

1. a) La coccinelle peut-elle atteindre le point B en trois déplacements?
   b) Quelles sont les arrivées possibles pour une marche de trois déplacements?
   c) Quelles sont les arrivées possibles si la marche compte un nombre pair de déplacements ?
   d) Quelles sont les arrivées possibles si la marche compte un nombre impair de déplacements?
2. Dans cette question, la coccinelle effectue deux déplacements. Éventuellement à l'aide d'un arbre, calculer la probabilité de l'événement \(\mathrm{A}_{2}\) : «la coccinelle arrive en A en effectuant deux déplacements ».
3. Reproduire et compléter le tableau ci-dessous :

Nombre de déplacements de la marche	1	2	3	4	5
Probabilité que la cocinelle arrive en A

Partie B

Dans cette partie, la coccinelle se déplace toujours sur les côtés du carré ABCD en partant du point A mais elle a deux fois plus de chance de se déplacer verticalement qu'horizontalement. Elle peut toujours marcher à rebours si elle le souhaite.
En revanche, elle décide de s'arrêter dès qu'elle revient en A .

1. Dans cette question, la coccinelle effectue exactement deux déplacements.
   a) Calculer la probabilité de l'événement \(\mathrm{A}_{2}\) : « la coccinelle arrive en A en effectuant deux déplacements ».
   b) Calculer la probabilité de l'événement \(\mathrm{C}_{2}\) : « la coccinelle arrive en C en effectuant deux déplacements ».
2. a) Calculer la probabilité de l'événement \(\mathrm{A}_{4}\) : « la coccinelle arrive en A en effectuant exactement quatre déplacements ».