Calculer la somme suivante sans utiliser la calculatrice:
\[ \left(1^{2}-2^{2}-3^{2}+4^{2}\right)+\left(5^{2}-6^{2}-7^{2}+8^{2}\right)+\left(9^{2}-10^{2}-11^{2}+12^{2}\right)+\cdots+\left(2009^{2}-2010^{2}-2011^{2}+2012^{2}\right) \]
On calcule déjà :
\[ 1^{2}-2^{2}-3^{2}+4^{2}=1-4-9+16=4 \text { et } 5^{2}-6^{2}-7^{2}+8^{2}=25-36-49+64=4 \]
Voyons le calcul autrement :
\[ \text { et } \quad \begin{aligned} 1^{2}-2^{2}-3^{2}+4^{2} & =(1-2)(1+2)+(4-3)(4+3)=-1-2+4+3=4 \\ 5^{2}-6^{2}-7^{2}+8^{2} & =(5-6)(5+6)+(8-7)(8+7)=-5-6+7+8=4 . \end{aligned} \]
Plus généralement, on a :
\[ \begin{aligned} n^{2}-(n+1)^{2}-(n+2)^{2}+(n+3)^{2} & =(n-(n+1))(n+(n+1))+((n+3)-(n+2))((n+3)+(n+2)) \\ & =(-1) \times(2 n+1)+1 \times(2 n+5)=-2 n-1+2 n+5=4 . \end{aligned} \]
Par conséquent, \(2009^{2}-2010^{2}-2011^{2}+2012^{2}=4\).
La somme proposée est donc constituée de paquets valant tous 4 .
Il n'y a qu'à compter le nombre de paquets.
Les nombres qui interviennent dans les sommes sont ceux de 1 à 2012 .
Ils sont groupés 4 par 4 , ce qui fait donc 503 paquets.
La somme vaut donc \(503 \times 4=2012\).