Exercice 5 — Énoncé — Olympiades 2012 Amiens

Sujet

\(a\) et \(b\) sont deux réels non nuls et de même signe.
On définit :

le nombre \(m=\frac{a+b}{2}\), qui est la moyenne arithmétique de \(a\) et \(b\);
le nombre \(n=\sqrt{a b}\), qui est leur moyenne géométrique;
Le nombre \(p\) tel que \(\frac{2}{p}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\), qui est leur moyenne harmonique.

On prend \(a=2\) et \(b=8\). Calculer \(m, n\) et \(p\) puis comparer ces trois moyennes.
Même question pour \(a=-12\) et \(b=-3\).
Montrer que \(p=\frac{2 a b}{a+b}\) puis calculer \(m-p\) en fonction de \(a\) et \(b\).
Montrer que si \(a\) et \(b\) sont des réels strictement négatifs, alors \(m \leqslant p
a) Calculer \(m^{2}-n^{2}\) et \(n^{2}-p^{2}\) en fonction de \(a\) et \(b\).
b) En déduire que si \(a\) et \(b\) sont des réels strictement positifs, alors \(p \leqslant n \leqslant m\).

Pour \(a=2\) et \(b=8\), on obtient:
\(m=\frac{2+8}{2}=5, n=\sqrt{2 \times 8}=4\) et \(\frac{2}{p}=\frac{1}{2}+\frac{1}{8} \Leftrightarrow \frac{2}{p}=\frac{5}{8} \Leftrightarrow p=\frac{16}{5}\).
La comparaison donne le résultat suivant : \(p
Pour \(a=-12\) et \(b=-3\), on obtient : \(m=\frac{-12-3}{2}=-\frac{15}{2}=-7,5\), \(n=\sqrt{(-12)(-3)}=\sqrt{36}=6\) et \(\frac{2}{p}=\frac{1}{-12}+\frac{1}{-3} \Leftrightarrow \frac{2}{p}=\frac{5}{-12} \Leftrightarrow p=-\frac{24}{5}=-4,8\).
La comparaison donne \(m
On a \(\frac{2}{p}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b} \Leftrightarrow \frac{2}{p}=\frac{b+a}{a b} \Leftrightarrow p=\frac{2 a b}{a+b}\).

Ensuite,on a :

\[ m-p=\frac{a+b}{2}-\frac{2 a b}{a+b}=\frac{(a+b)^{2}-4 a b}{2(a+b)}=\frac{a^{2}+b^{2}+2 a b-4 a b}{2(a+b)}=\frac{a^{2}+b^{2}-2 a b}{2(a+b)}=\frac{(a-b)^{2}}{2(a+b)} . \]