Sujet
A et B sont deux points d'un cercle de centre O et de rayon 5 tels que \(A B=6\).
Le carré PQRS est inscrit dans le secteur angulaire OAB de sorte que P est sur le rayon \([\mathrm{OA}]\), \(S\) est sur le rayon \([\mathrm{OB}]\), \(Q\) et \(R\) sont deux points de l'arc de cercle reliant \(A\) et \(B\).
- Faire une figure correspondant à la situation proposée.
- Calculer l'aire du carré PQRS.
On pose \(x=D E\) et \(y=E Q\).
D'après Pythagore dans OBD , on a déjà \(O D=4\).
Ensuite, on doit avoir \(\frac{O C}{O D}=\frac{C P}{D A}\)
D'où : \(O C=O D \times \frac{C P}{D A}=\frac{4}{3} y\).
Puis \(Q R=E C \Leftrightarrow 2 y=4+x-\frac{4}{3} y \Leftrightarrow \frac{10}{3} y=4+x\).
Enfin, d'après Pythagore dans OEQ :
\[ \begin{aligned} O E^{2}+E Q^{2}=5^{2} & \Leftrightarrow(4+x)^{2}+y^{2}=25 \\ & \Leftrightarrow\left(\frac{10}{3} y\right)^{2}+y^{2}=25 \\ & \Leftrightarrow \frac{109}{9} y^{2}=25 \\ & y^{2}=25 \times \frac{9}{109} \Leftrightarrow y=\frac{15}{\sqrt{109}} \end{aligned} \]
Cette égalité fournit la valeur de \(y\). On pourrait ensuite déterminer \(x\).
Mais ce n'est pas utile, car on cherche l'aire du carré.
D'après nos équations, les valeurs de \(x\) et de \(y\) garantissent que PQRS est un carré.
On a alors : aire \(_{\mathrm{PQRS}}=(2 y)^{2}=4 y^{2}=\frac{900}{109}=8,26\).