Exercice 4 — Rep-unit — Olympiades 2012 Aix-Marseille

Sujet

On appelle Rep-unit un nombre s'écrivant uniquement avec des 1 .
Les premiers Rep-unit sont donc : \(R_{1}=1, R_{2}=11, R_{3}=111, R_{4}=1111, \ldots\)
Ainsi, \(R_{p}=10^{p-1}+10^{p-2}+\cdots+10^{0}\).

Montrer que \(R_{3}=111\) et \(R_{4}=1111\) se décomposent chacun en produit de deux nombres entiers strictement supérieurs à 1 que l'on déterminera.
Dans cette question, on s'intéresse au nombre \(R_{12}\).
a) Vérifier que \(R_{2}\) et \(R_{3}\) divisent \(R_{12}\).
b) Montrer que, plus qénéralement, pour tout diviseur \(k\) de \(12, R_{k}\) divise \(R_{12}\).

\(R_{3}=3 \times 37\) et \(R_{4}=11 \times 101\).
a) A l'aide de la calculatrice, \(R_{12}=R_{2} \times 10101010101\) et \(R_{12}=R_{3} \times 1001001001\).
b) Les diviseurs de 12 sont \(1,2,3,4,6\) et 12 . \(R_{12}\) est évidemment divisible par \(R_{1}\) et \(R_{12}\).
Reste à vérifier pour \(R_{6}\). D'après la calculatrice, \(R_{12}=R_{6} \times 1000001\).
Finalement, pour tout diviseur \(k\) de \(12, R_{k}\) divise \(R_{12}\).
a) \(R_{p}=\overbrace{11 \ldots 1}^{p \text { chiffres } 1}=\overbrace{\frac{99 \ldots 9}{9}}^{p \text { chiffres } 9}=\frac{\overbrace{100 \ldots 0}^{p \text { chiffres } 0}-1}{9}=\frac{10^{p}-1}{9}\).
b) \((x-1)\left(\left(10^{k}\right)^{q-1}+\left(10^{k}\right)^{q-2}+\cdots+10^{k}+1\right)=\left(10^{k}\right)^{q}-1=10^{k \times q}-1=10^{p}-1\).
c) La formule précédente donne, pour \(x=10^{k}\) et \(n=q\),
\(\left(10^{k}-1\right)\left(\left(10^{k}\right)^{q-1}+\left(10^{k}\right)^{q-2}+\cdots+10^{k}+1\right)=\left(10^{k}\right)^{q}-1=10^{k \times q}=10^{p}-1\).
De plus, d'après la question 3.a), pour tout entier naturel \(n, 10^{n}-1=9 \times R_{n}\).
On en déduit : \(9 \times R_{k}\left(\left(10^{k}\right)^{q-1}+\left(10^{k}\right)^{q-2}+\cdots+10^{k}+1\right)=9 \times R_{p}\), c'est-àdire \(R_{p}=R_{k}\left(\left(10^{k}\right)^{q-1}+\left(10^{k}\right)^{q-2}+\cdots+10^{k}+1\right) . R_{k}\) divise donc \(R_{p}\).