Sujet
On considère deux points distincts A et B et un nombre réel \(p\) quelconque \(0
- On part du sommet A ;
- À chaque étape, on reste au point où l'on est avec la probabilité ( \(1-p\) ) et on change de point avec la probabilité \(p\).
On note \(S_{k}\) le sommet où l'on se trouve à la \(k\)-ième étape. On a donc \(S_{0}=\mathrm{A}\).
- Écrire en langage naturel un algorithme qui génère une étape de cette marche aléatoire.
- Montrer que la probabilité de se trouver au point B à la deuxième étape (c'est-à-dire la probabilité que \(S_{2}=\mathrm{B}\) ) est \(2 p(1-p)\).
On admet que la probabilité d'être en B après la \(k\)-ième étape est \(\frac{1-(1-2 p)^{k}}{2}\).
- Vérifier que cette formule est cohérente avec le résultat de la question précédente.
- Déterminer l'ensemble des valeurs de \(p\) pour lesquelles on a plus de chance d'être en B qu'en A à la \(43^{\text {ème }}\) étape.
- Que peut-on dire des probabilités d'être en A , ou en B , quand le nombre d'étapes est suffisamment grand?
- On prend \(p=0,1\). Déterminer le nombre d'étapes minimal \(k_{0}\) à effectuer pour que la probabilité d'être en B à partir de cette étape soit comprise entre 0,49 et 0,51 .