Exercice 1 — Un carreleur

Sujet

Un carreleur dispose d'un stock (suffisant) de pavés bleus et ronds, de 10 cm de rayon, pour paver une grande salle. Il hésite entre les deux types de pavages suivants :

Figure 1 : pavage \(P_{1\)}

Figure 2 : pavage \(P_{2\)}

Sur chaque pavage, quand on relie les centres des disques adjacents, on obtient un polygone (appelé cellule) qui se reproduit «à l'infini ». Dans le premier pavage cette cellule est un carré et dans le second cette cellule est un triangle équilatéral.

On appelle densité du pavage le rapport entre la surface occupée par les portions de disques contenues dans une cellule et la surface de la cellule elle-même. On définit ainsi un indicateur de compacité du pavage : plus la densité du pavage est grande, plus le pavage est compact...

Partie I

1. Montrer que la densité du pavage \(P_{1}\) arrondie à \(10^{-3}\) est \(D=\frac{\pi}{4}=0,785\).
2. Calculer la densité du pavage \(P_{2}\). Quel est le « meilleur» pavage ?
3. Le carreleur choisit finalement le deuxième pavage mais trouve que la surface non recouverte par les pavés est encore trop importante. Il décide de créer des nouveaux pavés ronds, cette fois-ci de couleur marron, qui rentreront exactement dans les interstices. On admet qu'on obtient la figure 3.