Exercice 2 — Nombres éligibles

Sujet

On dit qu'un entier naturel non nul \(n\) est éligible lorsque le carré de côté \(n\) peut être partagé en \(n\) carrés à côtés entiers.

Les figures ci-dessous montrent que les entiers \(n=6 ; n=9\) et \(n=11\) sont éligibles (l'entier écrit à l'intérieur de chaque carré indique la longueur du côté).

Figure a
Le carré de côté 6 est partagé en 6 carrés

Figure \(c\)
Le carré de côté 11 est partagé en 11 carrés

1. Expliquer pourquoi 3 n'est pas éligible.
2. (a) Justifier par une figure que 4 est éligible.
   (b) Démontrer que tout nombre de la forme \(p^{2}\) où \(p\) est un entier non nul est éligible.
3. (a) En s'inspirant de la figure \(a\) ci-dessus, justifier par une figure que 8 est éligible.