Exercice 1 — Partages équitables

Sujet

Les différentes parties sont indépendantes

Partie I

• Aire d'un trapèze : \(A=\frac{(B+b) \times h}{2}\)
  
• Dans la figure ci-contre, si le rayon du disque est \(R\) et si l'angle du secteur angulaire coloré mesure \(\alpha\) (en degrés), alors l'aire de la portion de disque colorée vaut \(\frac{\pi \alpha R^{2}}{360}\).
  

Une pizza rectangulaire ABCD comporte de la croûte sur deux côtés consécutifs, \([\mathrm{DA}]\) et \([\mathrm{AB}]\). On cherche comment partager la pizza en trois morceaux équitables : chaque part doit avoir la même longueur de croûte et la même aire.
Dans chaque situation, on fixe la longueur du petit côté \(\mathrm{AD}=1\).

1. Dans le cas particulier ci-dessous, on suppose que le partage réalisé est équitable.

Quelle est la longueur \(A B\) ?
Déterminer les longueurs \(D F, F H\) et \(H C\).

2. On généralise la situation en posant \(A B=L\) (et en supposant toujours que \(A D=1\) ).

Déterminer, pour chaque situation ci-dessous, les longueurs utiles permettant de découper équitablement la pizza.

situation 1: \(L>2\)

situation 2 : \(L<2\)