Exercice 4 — Somme et produit se ressemblent

Sujet

Au tableau sont écrits 16 nombres entiers positifs consécutifs. On note respectivement \(S\) et \(P\) la somme et le produit de ces 16 nombres.

a. Justifier que \(P\) est un multiple de 16.
b. Justifier que \(P\) est un multiple de 125 .
c. Quels sont les trois derniers chiffres de \(P\) ?
a. Exprimer \(S\) en fonction du plus petit \(n\) des 16 nombres écrits.
b. Donner un exemple de série de 16 nombres entiers consécutifs dont les trois derniers chiffres de la somme sont les mêmes que les trois derniers chiffres du produit.
Prouver que, quels que soient les 16 entiers consécutifs écrits, il est impossible que les quatre derniers chiffres de leur somme soient égaux aux quatre derniers chiffres de leur produit.

a. Dans une suite de 16 entiers consécutifs, il y en a 8 pairs. Leur produit est donc un multiple de 256 et a fortiori de 16.
b. Dans une suite de 16 entiers consécutifs, trois au moins sont multiples de 5 ( 4 si la suite commence - et finit- par un multiple de 5 ). Leur produit est donc un multiple de 125 .
c. Le produit \(P\) est donc un multiple de \(8 \times 125\), c'est-à-dire 1000. \(P\) se termine par trois zéros.
a. En appelant \(n\) le premier des nombres :

\[ \begin{aligned} & S=n+(n+1)+\cdots+(n+14)+(n+15) \\ & S=16 n+120 \end{aligned} \]

b. On voudrait que \(16 n+120\) soit un multiple de 1000 . Le premier possible est 1000 lui-même, ce qui donne \(n=55\).
3. Posons \(S=1000 S^{\prime}\) et \(P=1000 P^{\prime}\). Dire que \(S\) et \(P\) on les quatre derniers chiffres identiques c'est dire que \(S^{\prime}\) et \(P^{\prime}\) on le même chiffre des unités. Celui de \(P^{\prime}\) est pair car \(P\) est divisible par 16. Si celui de \(S^{\prime}\) était pair, cela signifierait que \(S^{\prime}\) est divisible par 16, ce qui n'est pas (car 120 ne l'est pas).

Exercice 4 — Somme et produit se ressemblent

Sujet

LES OLYMPIADES ACADÉMIQUES DE MATHÉMATIQUES 2011