Olympiades · Académie Versailles · 2011 · Séries autres que S
On dispose de 101 jetons numérotés de 1 à 101 . On les répartit en deux tas A et B .
Le jeton numéro 40 se trouve dans le tas A . On le prend et on le met dans le tas B . De ce fait, la moyenne des numéros des jetons du tas A augmente de 0.25 et la moyenne des jetons du tas B augmente elle aussi de 0,25 .
Combien y avait-il de jetons dans le tas A ?
Au départ, il y a \(N\) jetons dans le tas A et \(101-N\) dans le tas B . La somme des jetons contenus dans le tas A est \(S\), la somme des jetons contenus dans le tas B est \(\frac{101 \times 102}{2}-S\) soit \(5151-S\).
Une fois le jeton 40 transféré, il y a \(N-1\) jetons dans le tas A et la somme de leurs numéros est \(S-40\). La différence entre les deux moyennes est donc \(\frac{S-40}{N-1}-\frac{S}{N}=0,25\)
Il y a \(102-N\) jetons dans le tas B et la somme de leurs numéros est \(5191-S\). La différence entre les deux moyennes est donc \(\frac{5191-S}{102-N}-\frac{5151-S}{101-N}=0,25\).
La première égalité fournit : \(S=0,25 N^{2}+39,75 N\).
Et la seconde : \(S=0,25 N^{2}-10,75 N+1464,5\).
Ce qui se simplifie pour donner : \(50,5 N-1464,5\) soit \(N=29\).
On vérifie que ce résultat correspond à la somme 1363 . Une répartition possible consiste à mettre dans le tas A les jetons 14, 15, 16, 18 et tous les jetons dont les numéros sont compris, au sens large, entre 40 et 64 (il y en a bien d'autres, encore fallait-il s'assurer de l'existence d'une).