Sujet
Pour faciliter la lecture des copies, la mesure d'angle utilisée dans cet exercice est le degré.
On considère deux demi-droites \([\mathrm{O} x)\) et \([\mathrm{O} y)\) et un point A de la demi-droite \([\mathrm{O} x)\) tel que \(O A=1\).
On note \(\theta\) une mesure de l'angle \(\widehat{x \mathrm{O} y}\).
Etant donné un point B sur la demi-droite \([\mathrm{O} y)\), on construit, si possible, le point C du segment \([\mathrm{OA}]\) tel que \(C A=C B\).
- On note \(\alpha\) une mesure de l'angle \(\widehat{O A B}\). Pour quelles valeurs de \(\alpha\) peut-on construire le point C ?
- On suppose qu'on a pu construire le point C . On construit alors, si possible, un point D du segment \([\mathrm{OB}]\) tel que \(D B=D C\). Pour quelles valeurs de \(\alpha\) peut-on construire le point D ?
- On continue le processus précédent, construisant ainsi tant qu'il est possible et alternativement des points sur \([\mathrm{OA}]\) et sur \([\mathrm{OB}]\). Si M et M' sont deux points construits (dans cet ordre) et si on construit le point \(\mathrm{M}^{\prime \prime}\), point du segment \([\mathrm{OM}]\) tel que \(M^{\prime \prime} M=M^{\prime \prime} M^{\prime}\), on note \(x\) et \(x^{\prime}\) les mesures des angles \(\widehat{O M M^{\prime}}\) et \(\widehat{O M^{\prime} M}\) ". Pour quelle valeur de \(x\) a-t-on \(x^{\prime}=x\) ?
- On suppose dorénavant qu'on peut construire autant de points qu'on veut.
Pour quelles valeurs de \(\alpha\) cela est-il possible?
5. Quelle relation existe-t-il alors entre la longueur de la ligne formée par les segments joignant A à \(\mathrm{B}, \mathrm{B}\) à \(\mathrm{C}, \mathrm{C}\) à \(\mathrm{D} \ldots, \mathrm{M}\) à \(\mathrm{M}^{\prime}, \mathrm{M}^{\prime}\) à \(\mathrm{M}^{\prime \prime}\), etc et le périmètre du triangle ABC ?
Si le périmètre du triangle vaut \(1+\sqrt{2}\), combient vaut \(\theta\) ?
- On écrit la somme des mesures des angles du triangle ABO en tenant compte du fait que le triangle CBA est isocèle de sommet principal \(\mathrm{A}: 2 \alpha+\theta+\widehat{C B O}=180\).
Une condition nécessaire sur \(\alpha\) est donc : \(\alpha \leqslant 90-\frac{\theta}{2}\).
2. Le raisonnement est le même et conduit à \(2(180-2 \alpha-\theta)+\theta \leqslant 180\) qui peut être traduit en \(4 \alpha \geqslant 180-\theta\) ou encore \(\alpha \geqslant 15-\frac{\theta}{4}\).
3. La relation entre l'angle \(\widehat{O M M^{\prime}}\) et l'angle \(\widehat{O M^{\prime} M}\) " s'écrit \(x^{\prime}=180-2 x-\theta\). L'égalité de \(x\) et \(x^{\prime}\) est obtenue pour \(x=60-\frac{\theta}{3}\). Si on prend cette valeur comme valeur initiale, on peut construire des points ad libitum.