Préliminaires
- Pour tous réels \(a\) et \(b, x y+1=x+y+(x-1)(y-1)\).
Le produit figurant au second membre est positif strictement par hypothèse. D'où le résultat.
2. Cette fonction est strictement croissante.
Recherche de triplets
- Si \(a\) est supérieur ou égal à \(1, b\) et \(c\) le sont aussi, et ils sont supérieurs ou égaux à leurs inverses, ce qui nie la condition imposée.
- Le sens de variation de la fonction \(f\) et l'inégalité stricte \(c>\frac{1}{a b}\) conduisent à \(c-\frac{1}{c}>\frac{1}{a b}-a b\). L'inégalité \(a+b+c<\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\) conduit à \(c-\frac{1}{c}<\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-a-b\). On a donc \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-a-b>\frac{1}{a b}-a b\). Mais \(a\) et \(b\) sont strictement inférieurs à 1 et, en appliquant le premier résultat préliminaire, on obtient
\[
\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-a-b=(a+b)\left(\frac{1}{a b}-1\right)<(a b+1)\left(\frac{1}{a b}-1\right)=\frac{1}{a b}-a b
\]
Soit finalement \(\frac{1}{a b}-a b<\frac{1}{a b}-a b\) Contradiction. Donc \(b \geqslant 1\).