Exercice 4 — Le Mathothon en Borelie — Olympiades 2011 Toulouse

Sujet

On organise chaque année en Borelie un Mathothon télévisé : des émissions mettant en valeur les nombreuses facettes de l'activité mathématique sont diffusées tout au long d'un week-end et les foyers qui le souhaitent peuvent promettre d'effectuer un don unique de \(30 €\). Ils ne tiennent pas nécessairement leur promesse par la suite hélas. Heureusement, certains des foyers n'ayant rien promis effectuent, eux, un don de \(30 €\)

L'objectif du Mathothon est de récolter des fonds pour financer des projets scientifiques.

En 2010, on dénombrait 772000 foyers en Borelie. Lors du Mathothon de cette année là, \(36 \%\) des foyers ont fait une promesse de don (on les appelle les « prometteurs »).
a. Cela avait-il permis d'espérer une recette d'au moins \(8000000 €\) ? Pourquoi?
b. On a récolté en tout \(7954560 €\); on estime alors que \(30 \%\) des promesses n'ont pas été tenues, alors que des foyers n'ayant rien promis (on les appelle les « non prometteurs ») se sont résolus à donner.
Quel a été, en 2010, le pourcentage de donateurs parmi les foyers « non prometteurs» ? Arrondir la réponse au dixième près.
Lors du Mathothon 2011, le nombre de foyers s'élève à 784000 et \(34 \%\) d'entre eux ont fait une promesse de don. On attend d'un moment à l'autre les résultats définitifs du Mathothon 2011.
a. Cela permet-il d'espérer une recette d'au moins \(8000000 €\) ? Pourquoi?
b. Les résultats viennent de tomber : la somme effectivement récoltée en 2011 est de \(7962540 €\). On considère que le pourcentage des « prometteurs » n'ayant pas fait de don est le double de celui des « non-prometteurs » qui en ont fait un.
Déterminer ces pourcentages; arrondir la réponse au dixième près.

a. En 2010, l'espoir de recette est : \(772000 \times 0,36 \times 30=8337600 €\); cela dépasse les 8 millions d'euros.
b. En 2010, la recette effective des «prometteurs » donateurs :

\[ 772000 \times 0,36 \times 0,7 \times 30=5836320 € \]

la recette résultant des dons des « non-prometteurs » :

\[ 7954560-5836320=2118240 € . \]

Ce qui implique 70608 donateurs parmi les 494080 « non-prometteurs», soit \(14,3 \%\) au dixième près.
2. a. En 2011, l'espoir de recette est : \(784000 \times 0,34 \times 30=7996800 €\).
b. Pour l'année en cours, si \(t \%\) de « non-prometteurs » ont donne, \(2 t \%\) de «prometteurs » n'ont pas donné. L'écart de recette par rapport à la virtuelle est : \(34260 €\) en moins
\(\left.\left[784000 \times 0,66 \times \frac{t}{100}\right)-784000 \times 0,34 \times \frac{2 t}{100}\right] \times 30=-34260\);
d'où \(t \approx 7,283 \ldots\)
\(14,6 \%\) des «prometteurs » n'ont pas donné et \(7,3 \%\) des « non-prometteurs » ont donné.