Sujet
On désire remplir un tableau de \(n\) lignes et de \(n\) colonnes (avec \(n\) entier strictement supérieur à 1 ) avec des \(\ll 1>\) ou des \(\ll-1 \gg\); on appelle coefficients les nombres figurant dans un tel tableau.
On dira que deux colonnes du tableau sont orthogonales quand, en effectuant la somme des produits de leurs coefficients successifs, on obtient 0 . Voici à titre d'exemples des colonnes orthogonales ou non orthogonales :
Deux colonnes orthogonales de quatre lignes
Deux colonnes non-orthogonales de quatre lignes
| 1 | \multirow[b]{5}{*}{ \( \begin{aligned} & ---- & -- & --- & --- & --- \end{aligned} \) - - - } | 1 | \(1 \times 1\) | ||
| -1 | 1 | ⟶ | + | \((-1) \times 1\) | |
| -1 | ⟶ | + | \(1 \times(-1)\) | ||
| -1 | ⟶ | + | \(1 \times(-1)\) | ||
 | |||||
On étudie s'il est possible de remplir un tableau de \(n\) lignes et de \(n\) colonnes (avec \(n>1\) ) avec des \(\ll 1>\) ou des \(\ll-1>\) de façon à ce que les colonnes du tableau soient deux à deux orthogonales. Un tel tableau est appelé « un tableau de Hadamard» de taille \(n\).
1.
a. Le tableau ci-contre est un tableau de Hadamard. Expliquer pourquoi.
b. Dresser la liste de tous les tableaux de Hadamard de taille \(n=2\).
c. Peut-on trouver des tableaux de Hadamard de
| -1 | 1 | -1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | -1 | -1 |
| 1 | -1 | -1 | 1 |
taille \(n=3\) ? Expliquer.
2. On suppose que l'entier \(n\) est strictement supérieur à 3 et qu'il existe un tableau de Hadamard \(\mathrm{H}_{1}\) de taille \(n\).
a. Expliquer pourquoi \(n\) est pair.
b. Si le premier coefficient de la première colonne de \(\mathrm{H}_{1}\) est \(\ll-1 \gg\), expliquer comment modifier les coefficients de la première ligne de \(\mathrm{H}_{1}\) pour obtenir un tableau de Hadamard dont le premier coefficient de la première colonne soit \(\ll 1>\).
c. Expliquer comment on peut obtenir, à partir de \(\mathrm{H}_{1}\), un tableau de Hadamard dont tous les coefficients de la première colonne sont des \(\ll 1>\).
3. On suppose toujours que l'entier est \(n\) est strictement supérieur à 3 et qu'il existe un tableau de Hadamard \(\mathrm{H}_{1}\) de taille \(n\); par conséquent \(n\) est pair ; on pose \(n=2 p\).
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