Exercice 1 — Interdiction de doubler — Olympiades 2011 Toulouse

Sujet

Un ensemble \(A\) de nombres réels est dit «sans double» ( ou SANDO en abrégé) quand aucun élément de \(A\) n'est le double d'un élément de \(A\). Un SANDORI est un SANDO constitué d'une Réunion d'Intervalles inclus dans l'intervalle \([0 ; 1]\) sans élément commun. Par exemple : \([0,11 ; 0,22[\cup[0,45 ; 0,9[\) est un SANDORI.
La longueur d'un SANDORI est la somme des longueurs des intervalles qui le constituent. Par exemple : \([0,11 ; 0,22[\cup[0,45 ; 0,9[\) est un SANDORI de longueur 0,56 .

On cherche les SANDORI les plus longs possibles.

a. Justifier soigneusement que \([0,11 ; 0,22[\cup[0,45 ; 0,9[\) est bien un SANDORI de longueur 0,56 .
b. Trouver un SANDORI de la forme \([0,11 ; a[\cup[b ; c[\) avec \(a
a. S'il existe un SANDORI de longueur \(L\), montrer qu'il existe un autre SANDORI de longueur supérieure ou égale à \(L\) contenant l'intervalle \(] 0,5 ; 1\) ].
b. En déduire que les SANDORI les plus longs possibles ont une longueur comprise entre 0,5 et 0,75 .
S'il existe un SANDORI de longueur \(L\), contenant l'intervalle \(] 0,5 ; 1]\), montrer qu'il existe un autre SANDORI de longueur supérieure ou égale à \(L\) contenant les intervalles \(] 0,5 ; 1]\) et \(] 0,125 ; 0,25\) ].
En déduire un nouvel encadrement de la longueur des SANDORI les plus longs.
Déterminer un SANDORI dont la longueur dépasse 0,65 .
Déterminer une valeur approchée au centième près de la longueur des SANDORI les plus longs.

a. \([0,11 ; 0,22[\cup[0,45 ; 0,9[\) est réunion d'intervalles inclus dans \([0 ; 1]\). Pour tout element \(x\) de \([0,11 ; 0,22[\cup[0,45 ; 0,9[\), le double \(2 x\) appartient a \([0,22 ; 0,44[\cup[0,9 ; 1,8[\), il n'est donc pas dans \([0,11 ; 0,22[\cup[0,45 ; 0,9[\). La longueur est \(0,22-0,11+0,9-0,45\) soit 0,56 .
b. L'intervalle \([b ; c[\) sans double le plus long possible est \([0,5 ; 1[\); l'intervalle \([0,11 ; a[\) le plus long sans double qui puisse lui être adjoint est \([0,11 ; 0,25[\).
L'ensemble \([0,11 ; 0,25[\cup[0,5 ; 1[\) est sans double, inclus dans \([0 ; 1]\), de longueur 0,64 .
a. Soit \(A\) le sandori initial de longueur \(L, A^{\prime}\) la partie de \(A\) incluse dans \(] 0,25 ; 0,5\) ]. L'ensemble \(B\) obtenu en remplacant \(A^{\prime}\) par \(] 0,5 ; 1\) ] dans \(\left.\left.A\left(B=\left(A-A^{\prime}\right) \cup\right] 0,5 ; 1\right]\right)\) est :

union d'intervalles inclus dans \([0 ; 1]\)
de longueur \(L-\operatorname{longueur}\left(A^{\prime}\right)+0,5\) supérieure ou égale a \(L\) puisque longueur \(\left(A^{\prime}\right) \leqslant 0,25\)
toujours un sandori : le double d'un élément \(x\) de \(A-A^{\prime}\) n'est ni dans \(A\) (qui est sandori) ni dans \(] 0,5 ; 1]\) ) (car \(x\) n'est pas dans \(A^{\prime}\) ), donc pas dans \(B\), et le double d'un élément de ] 0,\(5 ; 1\) ] est strictement supérieur à 1 donc pas dans \(B\) qui est inclus dans [ 0,1 ].
Avec \(B\) on a construit un sandori ad hoc.
b. L'intervalle \(] 0,5 ; 1\) ] est un sandori de longueur 0,5 ; pour tout sandori, on considère celui, plus long contenant \(] 0,5 ; 1\) ], ce dernier est inclus dans \(] 0 ; 0,25] \cup] 0,5 ; 1]\), sa longueur est inférieure à 0,75 .
Les sandori de longueur maximale ont une longueur comprise entre 0,5 et 0,75 .