Exercice 3 — Énoncé — Olympiades 2011 Strasbourg

Sujet

Jean-Marc a une carte bleue avec un code à quatre chiffres.
Il se souvient que ce code commence par 1 et se termine par 5.
Il se souvient aussi que les deux autres chiffres ne sont pas les mêmes.

Combien y-a-t-il de tels codes possibles?
Il se souvient de plus que la somme des quatre chiffres fait 8 . Il prétend alors qu'en deux tentatives il est sûr de retrouver son code.
A-t-il raison?

Jean-Marc se souvient du premier et dernier chiffre de son code. Il peut être représenté par le tableau

\(c\)

\(d\)

Il y a 9 choix possibles pour le nombre \(c\) et neuf pour le nombre \(d\) car \(c\) et \(d\) sont distincts, soit au total \(10 \times 9\) choix possibles.
Il y a 90 codes possibles.
La somme des quatre chiffres est égale à 8 , soit \(1+c+d+5=8\).
\(c+d=2\).
\(c\) et \(d\) étant distincts et entiers compris entre 0 et 9 , il n'y a que deux possibilités :
\(c=0\) et \(d=2\) ou \(c=2\) et \(d=0\).
Jean-Marc a raison en affirmant qu'en deux tentatives il est sûr de retrouver le bon code.