Exercice 2 — Un tour de magie — Olympiades 2011 Strasbourg

Sujet

Armelle a écrit sur 5 morceaux de papier des nombres entiers distincts compris entre 1 et 9 . Les yeux bandés elle demande à Jean-Marc de tirer deux papiers et de lire à haute voix la somme des deux nombres qui y figurent. Armelle doit ensuite annoncer les deux nombres tirés et y réussit à chaque fois.

Donner une combinaison de 5 nombres permettant ce tour de magie.
Le tour serait-il possible avec 6 papiers de nombres toujours compris entre 1 et 9 .

Pour choisir une combinaison de cinq chiffres non nuls possible, il suffit que deux d'entre eux n'aient jamais la même somme.
Combinaison possible : \(1,2,5,7\) et 9 .

La somme de deux nombres entiers distincts compris entre 1 et 9 est comprise entre \(3(=1+2)\) et \(17(=8+9)\). Il y a 15 valeurs possibles. Mais certaines sommes ne peuvent coexister, par exemple 3 et 17 . Si c'était le cas, \(1,2,8\) et 9 appartiendraient à la combinaison, ce qui est impossible car \(1+9=2+8\). En définitive, la somme de deux nombres d'une combinaison ne peut prendre que 14 valeurs au plus.

Il existe 14 combinaisons possibles avec 5 chiffres distincts non nuls : \(1,2,3,5,8-1,2,3,5,9- 1,2,3,6,9-1,2,5,7,9-1,3,4,5,9-1,3,5,6,9-1,3,5,8,9-1,4,5,7,9-1,4,6,7,8-1\), \(4,7,8,9-1,5,6,7,9-1,5,7,8,9-2,3,4,6,9-2,5,7,8,9\).

Combinaison de six chiffres : Il y a 15 manières de choisir 6 éléments distincts parmi 9 sans tenir compte de l'ordre du choix. Donc dans toute combinaison de 6 chiffres non nuls distincts, il y a 15 façons d'en choisir 2. Parmi les sommes correspondantes, deux au moins seront égales.

Il n'existe aucune combinaison de 6 chiffres distincts non nuls permettant d'effectuer le tour de magie.