Olympiades · Académie Strasbourg · 2011 · Série S
ArithmétiqueDénombrement
Claire et Charles jouent à un jeu dont les règles sont les suivantes. Chacun part du nombre 1 et veut atteindre un nombre fixé par l'organisateur de la compétition.
A chaque étape, Claire a le choix soit d'ajouter 2 au nombre précédent, soit de le multiplier par 9. Charles quant à lui, a la possibilité soit d'ajouter 9 au nombre précédent, soit de le multiplier par 2 .
Qui est-ce?
3. L'organisateur choisit cette fois le nombre 2010. Que se passe-t-il?
4. Et s'il choisit 2012?
5. L'organisateur dispose d'un prix de valeur à remettre.
Quels sont les nombres qu'il peut choisir pour être sûr de remettre son lot?
1; 9; 11; 13; 15; 17; 19; 21; 23; 207; 209; 211; 213; 215; 217; 219; 221; 223; 2007; 2009; 2011.
Stratégie de Charles : \(1 ; 2 ; 22 ; 31 ; 62 ; 124 ; 248 ; 496 ; 992 ; 1001 ; 2002 ; 2011\).
2. Pour un nombre \(x\) plus grand que \(9,2 x>x+9\). Charles aura intérêt a multiplier par 2 les grands nombres pour minimiser le nombre d'étapes nécessaires.
Pour tout nombre \(x, 9 x>x+2\). Claire aura intérêt a multiplier par 9 pour minimiser le nombre d'étapes nécessaires. La stratégie donnée à la question 1. est optimale pour les deux joueurs. Le gagnant est Charles.
3. Les nombres atteints par Charles sont tous de la forme \(2^{n}+9 k, n\) et \(k\) entiers naturels. Les nombres atteints par Claire sont tous de la forme \(9^{n}+2 k, n\) et \(k\) entiers naturels.
Pour des raisons de parité et de divisibilité par 9, il n'existe pas d'entiers naturels \(n\) et \(k\) tels que \(2^{n}+9 k=2010\) ou \(9^{n}+2 k=2010\).
Si l'organisateur choisit le nombre 2010, le jeu n'a pas de gagnant.
4. Charles est le seul a pouvoir atteindre 2012. \(2^{5}+9 \times 220=2012\).
5. D'après la question 3. , pour être sûr de remettre son lot, l'organisateur doit choisir un nombre de la forme \(2^{n}+9 k\) ou \(9^{n}+2 k\) avec \(n\) et \(k\) entiers naturels.