Exercice 3 — Énoncé — Olympiades 2011 Rouen

Sujet

Un nombre entier naturel est dit «égyptien» si on peut le décomposer en une somme d'entiers naturels (qui peuvent être égaux) tels que la somme de leurs inverses est égale à 1 .
Par exemple, 11 est égyptien car \(11=2+3+6\) et \(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=1\).

5 est-il un nombre égyptien?
Montrer que 9 est égyptien puis en déduire que 20 est égyptien.
On considère un nombre entier naturel \(N\).
a. Démontrer que si \(N\) est égyptien, alors \(2 N+2\) est également égyptien.
b. Démontrer que si \(N\) est égyptien, alors \(2 N+9\) est également égyptien.
2010 est-il égyptien ? Si oui, préciser sa décomposition.

Une seule décomposition possible de 5 sous la forme d'une somme d'entiers naturels différents de 1 : \(5=2+3\) et \(\frac{1}{2}+\frac{1}{3} \neq 1\). Donc 5 n'est pas égyptien.
\(9=3+3+3\) et \(\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=1\). Donc 9 est égyptien. \(20=2 \times 9+2\) et \(9=3+3+3\) donc \(20=2 \times(3+3+3)+2=6+6+6+2 \frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{2}=1\). Donc 20 est égyptien.
On considère un entier naturel \(N\).
a. On suppose que \(N\) est égyptien : \(N\) s'écrit donc \(N=n_{1}+n_{2}+n_{3}+\cdots+n_{k}\), avec \(\frac{1}{n_{1}}+\frac{1}{n_{2}}+\frac{1}{n_{3}}+\cdots+\frac{1}{n_{k}}=1\).
Donc \(2 N+2=2 n_{1}+2 n_{2}+2 n_{3}+\cdots+2 n_{k}+2\) (somme d'entiers naturels).
Or \(\frac{1}{2 n_{1}}+\frac{1}{2 n_{2}}+\frac{1}{2 n_{3}}+\cdots+\frac{1}{2 n_{k}}+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n_{1}}+\frac{1}{n_{2}}+\frac{1}{n_{3}}+\cdots+\frac{1}{n_{k}}\right)+\frac{1}{2}=\frac{1}{2} \times 1+\frac{1}{2}=1\) car \(N\) est égyptien.
Donc \(2 N+2\) est aussi égyptien.
b. On suppose que \(N\) est égyptien : \(N\) s'écrit donc \(N=n_{1}+n_{2}+n_{3}+\cdots+n_{k}\) avec \(\frac{1}{n_{1}}+\frac{1}{n_{2}}+\frac{1}{n_{3}}+\cdots+\frac{1}{n_{k}}=1\).
Donc \(2 N+9=2 n_{1}+2 n_{2}+2 n_{3}+\cdots+2 n_{k}+9=2 n_{1}+2 n_{2}+2 n_{3}+\cdots+2 n_{k}+3+6\) (somme d'entiers naturels).
Or \(\frac{1}{2 n_{1}}+\frac{1}{2 n_{2}}+\frac{1}{2 n_{3}}+\cdots+\frac{1}{2 n_{k}}+2=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n_{1}}+\frac{1}{n_{2}}+\frac{1}{n_{3}}+\cdots+\frac{1}{n_{k}}\right)+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=\frac{1}{2} \times 1+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=1\) car \(N\) est égyptien.
Donc \(2 N+9\) est aussi égyptien.