Sujet
Le petit Bruno possède un jeu en bois composé des deux pièces suivantes : un cube et un prisme dont la base est un triangle équilatéral. Il pose la base du prisme à plat sur une table et s'amuse avec ce jeu en faisant « tourner le cube autour du prisme», sans glissement, de la façon suivante :
Figure 1
Première manipulation de Bruno
Ce qui conduit...
Figure 3
Figure 4
jusqu'au sommet où le cube bascule.
Figure 5
On sait que
- ABCD est un carré.
- RST est un triangle équilatéral de côté 80 cm .
- Au départ du jeu, le carré est posé sur le côté [RT] du triangle, le sommet A coïncide avec le point R et le carré pivote autour de D .
- Bruno constate qu'il peut faire tourner le cube deux fois sur le côté [RT] mais qu'il bascule durant le troisième tour (figures 4 et 5 ). Que peut-il en déduire sur la mesure de l'arête du cube?
- Bruno remarque ensuite que, lorsque son cube a fait un tour complet du prisme, il revient au même endroit qu'au départ.
a. Quelles sont alors la ou les valeur(s) exacte(s) possible(s) pour la mesure de l'arête du cube de Bruno?
b. Pour cette ou ces valeurs, tracer alors la trajectoire du point A et calculer la longueur de la trajectoire correspondante (arrondie au millimètre).
- Le cube de Bruno fait plus de deux tours sur le côté \([\mathrm{RT}]\) ce qui signifie que, si \(x\) désigne la mesure du côté du carré, on a \(2 x<80\). soit \(x<40\).
On sait aussi que le cube bascule durant le troisième tour ce qui amène à écrire que \(80<3 x\), soit \(x<\frac{80}{3}\). par conséquent, \(\frac{80}{3}
NB) une autre lecture du texte a amené certains candidats à écrire : \(3 x<80<4 x\); il en a été tenu compte dans la correction des copies.
2. Le périmètre du triangle RST vaut 240 cm . Si l'on fait \(n\) tours pour revenir exactement au même endroit qu'au départ, on a alors :
\[
n x=240 \text { d'où } x=\frac{240}{n} . \text { Or, on sait que }: \frac{83}{3} D'où, \(\frac{240}{40} Si le cube fait 8 tours, on obtient que l'arête du cube mesure 30 cm . Cas \(\boldsymbol{n}=\mathbf{7}\) : soit \(x=\frac{240}{7} ; 7\) tracé de la trajectoire sur fichier Geogebra intitulé «exercice 1 ère partie ». \[
\begin{gathered}
3 \times\left(\frac{\pi}{2} \times \frac{240}{7}\right)+2 \times\left(\frac{\pi}{2} \times \sqrt{2} \times \frac{240}{7}\right)+\frac{2 \pi}{3} \times \frac{80}{7} \sqrt{13}+\frac{2 \pi}{3} \times \frac{160}{7} \times \frac{7 \pi}{6} \\
=\frac{240}{7} \pi \times\left(\frac{28+2 \sqrt{13}}{9}+\sqrt{2}\right)=573,73
\end{gathered}
\] La longueur de la trajectoire vaut donc dans ce cas environ \(573,7 \mathrm{~cm}\). \[
\begin{aligned}
& \text { Coté du carré }=240 / 7 \\
& \text { longueurde la trajectoire }=u=t_{1}+t_{2}+t_{3}+t_{4}+t_{5}+t_{6}+t_{7}+t_{8} \\
& u \text { est affichée dans la fenétre algèbre } \\
& u=573,73
\end{aligned}
\] Cas \(n=8\) : Soit \(x=30\) : tracé de la trajectoire sur fichier Geogebra intitulé «exercice1 \(2{ }^{\text {ème }}\) partie». Par le calcul, la somme des longueurs des arcs successif vaut: \[
4 \times\left(\frac{\pi}{2} \times 30\right)+2 \times\left(\frac{2 \pi}{3} \times 10 \sqrt{10}\right)=454,24 .
\] La longueur de la trajectoire vaut donc dans ce cas environ \(454,2 \mathrm{~cm}\). (voir la figure page suivante))
a. a) Si le cube fait 7 tours, on obtient que l'arête du cube mesure \(\frac{240}{7} \mathrm{~cm}\).
On a donc deux valeurs possibles pour la mesure de l'arête du cube.
b. Tracé de la trajectoire et calcul de la longueur dans chacun des cas
Par le calcul, la somme des longueurs des arcs successifs vaut :
NB ) on pourra valoriser la remarque d'un candidat sur le fait que, d'un point de vue pratique, cette mesure de \(\frac{240}{7}\) n'est peut-être pas judicieuse pour construire un cube en bois.
