Exercice 3 — Carré grécolatin

Sujet

Un carré latin d'ordre \(n\), est un carré de \(n^{2}\) cases remplies par les \(n\) premiers nombres \(1,2, \ldots\) de telle façon que chaque nombre n'apparait qu'une et une seule fois par ligne et par colonne.
Ainsi, un exemple de carré latin d'ordre 6 est :

Un carré grécolatin d'ordre \(n\), est un carre de \(n^{2}\) cases remplies par des couples de nombres et de lettres de telle façon que :

• Chaque lettre n'apparait qu'une et une seule fois par ligne et par colonne.
• Chaque nombre n'apparait qu'une et une seule fois par ligne et par colonne.
• Chaque couple Lettre/Nombre n'apparait qu'une et une seule fois dans l'ensemble du carré.

Exemple de carré grécolatin d'ordre 5 :

1. Le carré suivant est-il un carré grécolatin d'ordre 6 ?

1. Peut-on trouver des carrés grécolatins d'ordre 2 ? Justifier.
2. Rechercher tous les carrés grécolatins d'ordre 3 dont la première ligne est A1, B2, C3.

1. En déduire le nombre total de carrés grécolatins d'ordre 3.