Sujet
Sur la figure jointe, ABCD est un rectangle; la longueur du côté AB est \(L\), celle du côté BC est \(\ell\), avec \(L>\ell\). On place sur le côté AB le point E tel que \(A E=x L,(0
Préliminaire : Montrer que la hauteur issue de F dans le triangle DFC a pour longueur \(y \ell\). On note \(S_{1}\) l'aire du triangle \(\mathrm{AED}, S_{2}\) l'aire du triangle DFC , et \(S_{3}\) l'aire du quadrilatère EBCF .
- Déterminer les valeurs de \(x\) et \(y\) pour que \(S_{1}=S_{2}=S_{3}\).
- Déterminer les valeurs de \(x\) et \(y\) pour que les trois nombres \(S_{1}, S_{2}, S_{3}\), dans cet ordre ou un autre, soient en progression arithmétique.
On commencera par exemple en supposant que \(S_{1} \leqslant S_{2} \leqslant S_{3}\), puis on étudiera tous les autres cas. Représenter graphiquement l'ensemble des solutions ( \(x, y\) ) ainsi déterminées. - Est-il possible de trouver un rectangle avec \(\ell\) et \(L\) entiers, tel que \(S_{1}=1, S_{2}=2, S_{3}=3\) ?
Préliminaire : utilisation du théorème de Thalès.
- On pose \(L \ell=2 u\). On a alors : \(S_{1}=x u, S_{2}=y u, S_{3}=u(2-x-y)\). Les trois aires sont égales si et seulement si \(x=y=\frac{2}{3}\).
- On remarque que si trois nombres sont en progression arithmétique, la somme du plus petit et du plus grand est égale au double du troisième.
a. \(S_{1} \leqslant S_{2} \leqslant S_{3}\). Il en résulte \(x \leqslant y\); et \(y u=\frac{u(y-1)}{2}\). D'où les solutions \(x \leqslant \frac{2}{3}\) et \(y=\frac{2}{3}\).
b. \(S_{2} \leqslant S_{1} \leqslant S_{3}\). De même qu'en a., on trouve pour solution \(x=\frac{2}{3}, 0c. \(S_{1} \leqslant S_{3} \leqslant S_{2}\). On trouve de même le segment de droite :
\[
3 x+3 y=4, x \leqslant y, 0