Sujet
Une boîte en forme de prisme droit dont la base est un triangle équilatéral, est remplie par des billes, dont le diamètre est la hauteur du prisme, bien insérées comme ci-dessous. On veut remplir ce qui reste du prisme par un gel.
Perspective
Vue du dessus
On connaît le diamètre des billes 20 mm et la hauteur \(A H=203,3 \mathrm{~mm}\) au dixième près par excès.
- Déterminer la distance \(d\) de deux rangées de billes.
- Déterminer la distance \(e\) entre la pointe de la boîte et le centre de la première bille.
- En déduire le nombre de rangées de billes.
- Quel volume de gel faut-il? (Résultat en \(\mathrm{cm}^{3}\) arrondie à \(10^{-1}\) près)
Aide : \(1+2++3+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}\)
Volume de la sphère : \(V=\frac{4}{3} \pi r^{3}\).
1.
Le triangle formé par le centre d'une bille et les centres des deux billes immédiatement au-dessus d'elle est un triangle équilatéral de côté \(2 r\), où \(r\) est le rayon d'une bille.
A l'aide du théorème de Pythagore, on montre que \(d=\sqrt{3} r=10 \sqrt{3} \mathrm{~mm}\).
