Exercice 1

Sujet

Les deux premières questions sont à traiter par tous les candidats.
La troisième question ne sera traitée que par les élèves inscrits dans la série \(S\).
On écrit des entiers dans toutes les cases d'un tableau, de façon à ce qu'il y ait parmi eux au moins un entier pair et au moins un entier impair.
Exemple

3	1	0
9	17	2
1	3	6

On dit que deux cases sont voisines si elles ont un côté commun : par exemple la case contenant le 17 est voisine de celle contenant le 9 mais pas de celle contenant le 6 .

Puis on fabrique un deuxième tableau à partir du premier de la façon suivante : on additionne les nombres écrits dans les cases voisines d'une case du tableau initial et on écrit cette somme dans la case correspondante du nouveau tableau. On fait de même avec les huit autres cases.
Exemple : à partir du tableau donné dans l'exemple précédent, on obtient le nouveau tableau :

10	20	3
21	15	23
12	24	5

1. A traiter par tous les candidats.

Donner le tableau obtenu à partir du tableau initial suivant :

1	8	7
3	4	22
13	9	5

2. A traiter par tous les candidats

On s'intéresse aux tableaux à trois lignes et trois colonnes.
Avec les conditions données au départ, peut-on obtenir :
a. Un tableau dont les cases contiennent toutes des nombres pairs?
b. Un tableau dont les cases contiennent toutes des nombres impairs?

3. A traiter par les élèves de la série \(S\) uniquement

On s'intéresse aux tableaux à trois lignes et quatre colonnes.
Avec les conditions données au départ, peut-on obtenir un tableau dont les cases contiennent toutes des nombres pairs?