- La seule coupe possible de la feuille carrée se fait suivant la diagonale (les deux triangles après découpe sont rectangles, donc pour être possible il faut deux autres angles de \(45^{\circ}\) ) Le joueur B reçoit un triangle isocèle.
Il suffit de le couper le long de la hauteur de l'angle droit pour obtenir deux nouveaux triangles rectangles isocèles. Une fois l'un jeté, l'autre a la même forme que la figure dont il était parti et B gagne.
- Appelons ABCD le rectangle, avec \(A B=C D=2\) et \(B C=D A=1\). Si la découpe part de A (ce qu'on peut toujours supposer), elle se termine sur \([\mathrm{BC}]\) et le triangle isocèle est rectangle en B ou sur [CD] et le triangle isocèle est rectangle en D . Donc l'angle de la découpe en A est \(45^{\circ}\). Comme l'angle \((\overrightarrow{\mathrm{AC}} ; \overrightarrow{\mathrm{AB}})<\frac{\pi}{4}(2 \pi)\) car \(A C
Le joueur B peut alors joindre D'au milieu A' de \([\mathrm{AB}]\) pour obtenir le triangle isocèle \(\mathrm{AD}^{\prime} \mathrm{A}\) '. Une fois celui-ci retiré, on récupère un carré \(\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{BCD}^{\prime}\) et la première question montre que puisque c'est de nouveau à A de jouer, c'est encore B qui gagne.
- Le raisonnement est le même que ci-dessus. Si on note ABCD le rectangle \(A B=C D=n\) et \(B C=D A=1\), le joueur A est, comme ci-dessus, obligé de découper un triangle isocèle du type \(\mathrm{ADC}^{\prime}\) avec \(D C^{\prime}=1\). Il suffit à B de relier \(\mathrm{C}^{\prime}\) au point \(\mathrm{A}^{\prime}\) de \([\mathrm{AB}]\) tel que \(A A^{\prime}=1\) pour retirer un triangle rectangle isocèle \(\mathrm{AC}^{\prime} \mathrm{A}^{\prime}\) et donner au joueur A une feuille rectangulaire avec les proportions \((n-1) \times 1\). Il en résulte que B gagnera toujours.
- Revenons a la feuille carreée découpée en deux triangles rectangles isocèles par A . Il y a une autre isocoupe possible : si ABD est isocèle en A , traçons à partir de A un segment faisant un angle \(\frac{3 \pi}{8}\) avec AB et notons \(\mathrm{C}^{\prime}\) le point d'intersection de cette droite avec \([\mathrm{BC}]\). Le triangle \(\mathrm{ABC}^{\prime}\) a un angle \(\frac{3 \pi}{8}\) en A, \(\frac{\pi}{4}\) en B et \(\pi-\left(\frac{\pi}{4}+\frac{3 \pi}{8}\right)=\frac{3 \pi}{8}\) en C', il est donc isocèle en B. Les angles du triangle restant sont \(\frac{\pi}{8}\) en A, \(\frac{\pi}{4}\) en C et \(\frac{5 \pi}{8}\) en C' et C ne gagne donc pas puisque le triangle n'a pas la même forme que le triangle initial.
Traçons maintenant à partir de C la bissectrice de l'angle entre \(\overrightarrow{\mathrm{CA}}\) et \(\overrightarrow{\mathrm{CC}^{\prime}}\). Celui des deux triangles qui passe par A a deux angles égaux a \(\frac{\pi}{8}\) donc il est isocèle et on peut le retirer. L'autre a un angle égal à \(\frac{\pi}{8}\) et un angle egal a \(\frac{5 \pi}{8}\) donc le troisième vaut \(\frac{\pi}{4}\) et le triangle a la même forme qu'avant la découpe : c'est donc bien A qui gagne.
- Considérons un triangle ABC . Décidons de nommer A le sommet à partir duquel on découpe, l'angle en A , et par \([\mathrm{AB}]\) celui des deux segments qui se trouve dans le triangle isocèle. On désignera par \(\beta\) l'angle en B , et par \(\gamma=\pi-\alpha-\beta\) l'angle en C . Notons B ' le troisième sommet du triangle isocèle retiré ABB '.
Il faut noter que les découpages décrits ci-dessous ne sont possibles que si les angles de découpe sont strictement compris entre 0 et \(\alpha\).
Le triangle peut être isocèle en A (cas 1 ), en B (cas 2 ) ou en \(\mathrm{B}^{\prime}\) (cas 3 ).
- Cas 1 - S'il est isocèle en A , ses angles en B et en B ' sont égaux à \(\beta\). L'angle de découpe en A est donc \(\pi-2 \beta\). Les angles du triangle restant sont alors : \(\alpha+2 \beta-\pi\) en A, \(\pi-\beta\) en B' et \(\gamma\) en C.
Le triangle restant est de la même forme que le triangle initial :
- Si \(\alpha=\pi-\beta\) et \(\beta=\alpha+2 \beta-\pi\), on a \(\alpha+\beta=\pi\), donc \(\gamma=0\), impossible.
- Si \(\alpha=\alpha+2 \beta-\pi\) et \(\beta=\pi-\beta\), on a \(\beta=\frac{\pi}{2}\), ce qui est impossible dans le cas 1 .
Dans ce cas le découpage n'est jamais gagnant.
- Cas 2 - S'il est isocele en B, les angles en A et en B' valent tous les deux \(\frac{\pi-\beta}{2}\). La condition d'existence pour un tel triangle est \(\pi-\beta<2 \alpha\) qui équivaut a \(\gamma<\alpha\).
Le triangle restant a alors comme angles : \(\gamma\) en \(\mathrm{C}, \frac{\pi+\beta}{2}\) en \(\mathrm{B}^{\prime}\) et \(\alpha-\frac{\pi-\beta}{2}\) en A .
Comme \(\frac{\pi-\beta}{2} \neq 0\), la solution est : \(\alpha=\frac{\pi+\beta}{2}, \beta=\alpha-\frac{\pi-\beta}{2}\), soit \(2 \alpha=\pi+\beta=\alpha+2 \beta+\gamma\).
Ou encore, \(\alpha=2 \beta+\gamma\)
Si cette solution est vérifiée, on a \(\alpha>\gamma\), et on a gagné.
- Cas 3 - Si le triangle est en \(\mathrm{B}^{\prime}\), les angles en A et en B valent tous les deux \(\beta\). La conditiion pour un tel triangle est \(\beta<\alpha\).
Le troisième angle vaut alors \(\pi-2 \beta\) et le triangle restant a comme angles : \(\gamma\) en \(\mathrm{C}, 2 \beta\) en \(\mathrm{B}^{\prime}\) et \(\alpha-\beta\) en A . Comme ci-dessus le triangle a la même forme que le triangle initial si : \(\alpha=2 \beta\).
Si cette solution est vérifiée, on a une isocoupe possible.
Si \(\alpha=2 \beta+\gamma\), ou si \(\alpha=2 \beta\), il est possible de découper le triangle en un triangle isocèle et une copie réduite du triangle initial et le triangle est gagnant.
- Pour qu'un triangle potentiellement gagnant le soit à tous les coups, il faut que la découpe du cas 1 soit impossible puisque c'est la seule qui ne conduit pas à la victoire immédiate.
Dans le cas \(2, \alpha=2 \beta+\gamma\) et le cas 1 est possible si \(\beta<2 \pi\) et \(\gamma<\beta\). Le cas 1 est donc impossible si \(\beta=\frac{\pi}{2}\), mais alors \(\alpha=2 \beta+\gamma>\pi\) qui est impossible, ou si \(\gamma=\beta\), auquel cas \(\alpha=3 \beta=3 \gamma\) et \(\beta=\gamma=\frac{\pi}{5}\) et \(\alpha=\frac{3 \pi}{5}\).
Dans le cas 3 , \(\alpha=2 \beta\) et de nouveau il est impossible que \(\beta=\frac{\pi}{2}\), donc l'impossibilité du cas 1 se traduit par \(\gamma=\beta\) et on trouve cette fois \(\alpha=\frac{\pi}{2}, \beta=\gamma=\frac{\pi}{4}\). Mais on a vu au-dessus que cette condition n'est pas suffisante.
Le seul triangle possible est celui relatif au cas 2 .